等速螺旋(阿基米德螺線）

一、什么是等速螺旋

1、從點(diǎn)O出發(fā)的射線l繞點(diǎn)O作等角速度的轉(zhuǎn)動(dòng)。(wWW.NiUbb.nEt]

2、同時(shí)點(diǎn)M沿l作等速直線運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M的軌跡叫等速螺旋 或阿基米德螺線。

二、等速螺線的極坐標(biāo)方程

1、建立極坐標(biāo)系

取O點(diǎn)為極點(diǎn)，以l的初始位置為極軸，建立極坐標(biāo)系如上圖。

2、建立參數(shù)方程

設(shè)點(diǎn)M的初始位置為（ρ0,0），點(diǎn)M在l上的運(yùn)動(dòng)速度為v,l繞點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，經(jīng)過時(shí)間t后，l旋轉(zhuǎn)了θ角，點(diǎn)M到達(dá)位置（ρ,θ）根據(jù)螺旋線的定義可得：

ρ-ρ0=vt, θ=wt

這就是以時(shí)間t為參數(shù)的參數(shù)方程。

3、建立極坐標(biāo)方程

參數(shù)方程消去t后得：ρ-ρ0=vθ/w

這是所求得的等速螺線的極坐標(biāo)方程。

設(shè)v/w=a

則ρ=ρ0+aθ

此為等速螺線極坐標(biāo)的一般形式，ρ是θ的一次函數(shù)。

特殊情況下，ρ0=0時(shí)，ρ= aθ，ρ是θ的正比例函數(shù)。

三、ρ=aθ的圖像

其中虛線為ρ和θ取負(fù)值時(shí)的圖像

四、等速螺線的笛卡爾坐標(biāo)系方程

1、極坐標(biāo)系和直角坐標(biāo)系的換算公式

x=ρcosθ

y=ρsinθ

ρ^2=x^2+y^2

tanθ=y/x

2、等速螺線的笛卡爾坐標(biāo)系方程

由ρ=vt θ=wt

可得x=vtcosθ

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

y=vtsinθ

五、CREO下的參數(shù)方程

1、笛卡爾坐標(biāo)系

第一個(gè)例子

s=v*t

angle=t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

圖中：v=50

表示螺線的極徑在0-50

之間變化，轉(zhuǎn)角在360

度之內(nèi)，當(dāng)達(dá)到360°時(shí)

極徑長(zhǎng)度為50

當(dāng)轉(zhuǎn)過90°時(shí)，

t=90/360=1/4

s=50/4=12.5

當(dāng)轉(zhuǎn)過180時(shí)，t=180/360=1/2，s=50/2=25 第二個(gè)例子

s=50*t

angle=5*t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

第三個(gè)例子

s=50*t

angle=60+3*t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

第四個(gè)例子

s=50*t

angle=-60-2*t*360

x=s*cos(angle)

y=s*sin(angle)

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

2、圓柱坐標(biāo)系（極坐標(biāo)系）

r=50*t

theta=t*360

z=0

（柱坐標(biāo)系的三個(gè)參數(shù)為r，theta，z）

此方程與第一個(gè)例子等價(jià)的。［WWW.NiUBb.NeT］

六、等速螺線的面積問題

1、扇形的面積公式

1S=R2θ S——扇形面積

R——半徑

θ——圓心角，弧度

2、計(jì)算曲邊扇形面積的數(shù)學(xué)模型

如上圖，由曲線ρ=ψ(θ)，射線θ=α，θ=β圍成曲邊扇形，要計(jì)算其面積，取極角θ為積分變量，它的變化區(qū)間在，相應(yīng)于任一小區(qū)間的窄曲邊扇形的面積，可以用半徑為ρ=ψ(θ)，圓心角為dθ的扇形的面積來近似代替，從而得到窄曲邊扇形面積的近似值，即曲邊扇形的面積元素：

1dA=2dθ 以此面積元素作為在閉區(qū)間上作定積分，便得所求曲邊扇形面積的面積為：

β1 2dθ

α3、計(jì)算等速螺線的面積

如圖，計(jì)算阿基米德螺旋θ變化區(qū)間為的一段圓弧與極軸圍成圖形的面積

根據(jù)數(shù)學(xué)模型，可得：

2π

A=

02π1122α2θ342dθ= αθdθ= =α2π3 002π

當(dāng)α=10時(shí)，θ變化區(qū)間為時(shí)，等速螺線的柱坐標(biāo)系參數(shù)方程為

theta=t*360

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

r=10*2*pi*t

等速螺線 等速螺線

（由theta化為弧度，即t*360*π/180=2*t*π）

則

44A=α2π3=100π3=4134.17

計(jì)算等速螺旋θ變化區(qū)間為的一段圓弧與極軸圍成圖形的面積

如下圖：

根據(jù)等速螺線的定義起始點(diǎn)為0時(shí)的極坐標(biāo)方程為，ρ= aθ。(WWw.nIUBB.NEt］如圖此時(shí)的起始點(diǎn)位置為ρ0=2πα 由ρ-ρ0=vθ/w=αθ可得

ρ-2πα=αθ。于是改圖像所示的極坐標(biāo)方程為ρ=2πα+αθ=α（θ+2π）

此時(shí)，當(dāng)α=10時(shí)，θ變化區(qū)間為時(shí)，等速螺線的柱坐標(biāo)系參數(shù)方程為

theta=2*t*360

r=10*4*pi*t

（此方程表示螺線從圓心開始繞兩圈）

如果只考慮外圈，不考慮圖中的虛線部分，則參數(shù)方程為

r=2*π*10+10*2*π*t

theta=t*360

（此方程表示螺線從2πα點(diǎn)開始繞一圈）

下面計(jì)算此圖形的面積

2π

A=

02π112α2(θ+2π)322dθ= α(θ+2π)dθ= 002π

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

等速螺線 等速螺線

(4π)3(2π)3A=50×?50×=33073.36?4134.17=28939.19

七、等速螺線的弧長(zhǎng)問題

1、弧長(zhǎng)元素

如圖，設(shè)x，x+Δx為（a,b)內(nèi)相鄰的兩個(gè)點(diǎn)，它們?cè)谇€y=f(x)上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,M'。（wWw.nIuBB.Net］當(dāng)Δx足夠小時(shí)，弧MM近似等于其對(duì)應(yīng)的弦長(zhǎng)，用Δs表示弧長(zhǎng)，于是有

?s= ?由函數(shù)微分學(xué)可知，?x≈dx，?y≈dy則?s≈ds

由此可得直角坐標(biāo)系下的弧長(zhǎng)元素為ds= (dx)

2、各種形式方程下的弧長(zhǎng)