本文介紹了“第三屆數(shù)學(xué)文化征文比賽”

《走近楊輝 揭秘三角》教育設(shè)計(jì)

作者：號(hào)平

作品編號(hào)：057

一、教育目標(biāo)

1.知識(shí)和技術(shù)：

(1)掌握多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的算法，并靈活應(yīng)用。

（2)理解楊輝三角的數(shù)字規(guī)律，了解楊輝三角的歷史和文化背景。

2.過(guò)程與方法：

通過(guò)課前的閱讀、計(jì)算和網(wǎng)絡(luò)學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，完成預(yù)習(xí)學(xué)案。在探究規(guī)律過(guò)程中培養(yǎng)合作意識(shí)，在獨(dú)立思考的過(guò)程中發(fā)展創(chuàng)造思維能力。教學(xué)過(guò)程培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的數(shù)學(xué)歸納、猜想能力，滲透類比思想和數(shù)形結(jié)合的思想。

3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀

培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，探究知識(shí)、建構(gòu)知識(shí)的研究型學(xué)習(xí)習(xí)慣及合作化學(xué)習(xí)的團(tuán)隊(duì)精神。激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感，樹(shù)立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。感受數(shù)學(xué)魅力的同時(shí)，展示數(shù)學(xué)文化的價(jià)值體現(xiàn)。

二、教材分析

本課的主要內(nèi)容是發(fā)現(xiàn)楊輝三角的基本規(guī)律，楊輝三角的數(shù)字規(guī)律主要包括橫行、豎行、斜行各數(shù)之間的大小關(guān)系。從問(wèn)題的提出、探索的過(guò)程及猜想的建立均主要由學(xué)生自主完成，教師作為組織者，提供必要指導(dǎo)，同時(shí)更為重要的是充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性地位。

學(xué)生了解楊輝三角的規(guī)律后，介紹楊輝三角的來(lái)源，通過(guò)楊輝三角歷史背景的描述，使得學(xué)生更了解數(shù)學(xué)文化。借助楊輝三角在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用和中高考試題，讓學(xué)生能夠?qū)W以致用。

三、教學(xué)重、難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：楊輝三角規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和理解以及了解楊輝三角的歷史文化。

教學(xué)難點(diǎn)：楊輝三角規(guī)律的理解和應(yīng)用。

四、教學(xué)方法

采取以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)的探究式教學(xué)方法。學(xué)生觀察規(guī)律時(shí)，采取討論交流式的方法，激發(fā)學(xué)生主動(dòng)尋找規(guī)律的欲望。楊輝三角的歷史文化介紹推廣環(huán)節(jié)，借助微課形式，在《高山流水》的背景音樂(lè)聲中，楊輝三角的起源、發(fā)展和影響力的敘述娓娓道來(lái)，吸引學(xué)生感受數(shù)學(xué)的魅力和趣味性。楊輝三角的應(yīng)用環(huán)節(jié)，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體性地位。

五、教學(xué)過(guò)程

（一）溫故知新

1.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，再把所得的積相加。（文字語(yǔ)言）

符號(hào)語(yǔ)言：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

2.完全平方公式：

【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生計(jì)算(a+b)的高次冪，為提取展開(kāi)式系數(shù)做好鋪墊。

（二）新知探究

活動(dòng)一：利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，按照a的降冪排列，寫出、、、（a+b≠0）的展開(kāi)式。

將展開(kāi)式系數(shù)填入下表1。

表一

【設(shè)計(jì)意圖】利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，按照a的降冪排列，寫出、、、（a+b≠0）的展開(kāi)式，并將展開(kāi)式系數(shù)填入表格中。通過(guò)引入探究操作的過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生明白這個(gè)系數(shù)表的來(lái)源。

將上表1變換隊(duì)形，填入下表2。

表二

如表2，三角形系數(shù)表就稱為楊輝三角。

【設(shè)計(jì)意圖】將(a+b)ⁿ展開(kāi)式系數(shù)變換隊(duì)形后，正好形成三角形系數(shù)表，從“形”的角度，揭示楊輝三角的第一層面紗。

活動(dòng)二：同學(xué)們，能否繼續(xù)寫出、、、...、的展開(kāi)式系數(shù)？

【設(shè)計(jì)意圖】類比以往解決含n的題型，引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生探究楊輝三角規(guī)律的欲望。

規(guī)律之美1：楊輝三角中兩條斜邊都是由數(shù)字1組成，每一個(gè)數(shù)均為肩上兩數(shù)之和。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察楊輝三角形數(shù)表，直觀感受數(shù)字的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生找出數(shù)字之間的關(guān)系。

規(guī)律之美2：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)數(shù)相等，楊輝三角具有對(duì)稱性。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從“形”的角度，觀察楊輝三角形數(shù)表，發(fā)現(xiàn)由數(shù)字構(gòu)成的圖形是等腰三角形，而等腰三角形是最為典型的軸對(duì)稱圖形，從而展示了楊輝三角的對(duì)稱之美。

規(guī)律之美3：楊輝三角第n行中n個(gè)數(shù)之和等于2的n-1次冪。

【設(shè)計(jì)意圖】從“數(shù)”“形”兩個(gè)角度分析楊輝三角數(shù)表后，引導(dǎo)學(xué)生從整體的眼光看待楊輝三角數(shù)表，即“橫向”計(jì)算楊輝三角數(shù)表的和，尋找規(guī)律。同時(shí)，為后續(xù)從“斜向”觀察楊輝三角的規(guī)律埋下伏筆。

規(guī)律之美4：從楊輝三角中一個(gè)確定的數(shù)的“左（右）肩”出發(fā)，向右（左）上方作一條和左斜邊平行的射線，在這條射線上的各數(shù)的和等于這個(gè)數(shù)。

規(guī)律之美5：斜看楊輝三角中各數(shù)的和，從第三個(gè)數(shù)起，任一數(shù)都等于前兩個(gè)數(shù)的和，這是著名的斐波那契數(shù)列，即為兔子數(shù)列。

【設(shè)計(jì)意圖】斐波那契數(shù)列是數(shù)學(xué)文化史中趣味性很強(qiáng)的代表性范例，值得推廣學(xué)習(xí)，從而引出斐波那契發(fā)現(xiàn)兔子數(shù)列的規(guī)律。

中世紀(jì)意大利數(shù)學(xué)家斐波那契的傳世之作《算術(shù)之法》中提出了一個(gè)饒有趣味的問(wèn)題：假定一對(duì)剛出生的兔子一個(gè)月就能長(zhǎng)成大兔子，再過(guò)一個(gè)月就開(kāi)始生下一對(duì)小兔子，并且以后每個(gè)月都生一對(duì)小兔子．設(shè)所生一對(duì)兔子均為一雄一雌，且均無(wú)死亡．問(wèn)一對(duì)剛出生的小兔一年內(nèi)可以繁殖成多少對(duì)兔子？（如圖1）

圖1

兔子繁殖問(wèn)題也可以從楊輝三角得到答案：

1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)講解斐波那契數(shù)列的來(lái)源，引導(dǎo)學(xué)生意識(shí)到數(shù)學(xué)來(lái)源于生活應(yīng)用于數(shù)學(xué)的價(jià)值體現(xiàn)。同時(shí)，介紹數(shù)學(xué)家斐波那契熱愛(ài)生活，善于觀察生活，并將生活中的現(xiàn)象記錄下來(lái)留下寶貴的精神財(cái)富，引導(dǎo)學(xué)生樹(shù)立研究性學(xué)習(xí)的觀念，滲透數(shù)學(xué)建模的思想。

（三）時(shí)光列車

通過(guò)微課的形式講述楊輝三角的起源、發(fā)展，走進(jìn)楊輝三角，了解它背后的故事。

首先介紹古代數(shù)學(xué)家賈憲，中國(guó)十一世紀(jì)上半葉（北宋）的杰出數(shù)學(xué)家。曾撰《黃帝九章算法細(xì)草》（九卷）和《算法古集》（二卷），都已失傳。據(jù)《宋史》記載，賈憲師從數(shù)學(xué)家楚衍學(xué)天文、歷算，著有《黃帝九章算法細(xì)草》、《釋鎖算書》等書。賈憲的主要貢獻(xiàn)是創(chuàng)造了“賈憲三角”和“增乘開(kāi)方法”。

然后介紹本課的主角——古代數(shù)學(xué)家楊輝，出生于南宋時(shí)期，1261年所著的《詳解九章算法》一書中，輯錄了三角形數(shù)表，稱之為“開(kāi)方作法本源”圖（如圖2），并說(shuō)明此表引自11世紀(jì)中葉（約公元1050年）賈憲的《釋鎖算術(shù)》，并繪畫了“古法七乘方圖”。楊輝在所著《詳解九章算法》、《開(kāi)方作法本源》一章中作賈憲開(kāi)方作法圖，并說(shuō)明“出釋鎖算書，賈憲用此術(shù)”。

圖2

法國(guó)著名數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家帕斯卡，在13歲時(shí)（1654年）發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年，比賈憲遲600年。帕斯卡在1665年出版《論算術(shù)三角形》，談到“算術(shù)三角形”的構(gòu)造和性質(zhì)，并最早用數(shù)學(xué)歸納法證明了性質(zhì)。

意大利數(shù)學(xué)家塔爾塔利亞的發(fā)現(xiàn)比帕斯卡要早100多年，比賈憲晚約500年。

【設(shè)計(jì)意圖】描述賈憲、楊輝成就的同時(shí)，詳細(xì)介紹楊輝三角的來(lái)龍去脈，并告知今日認(rèn)知的楊輝三角實(shí)際上是賈憲最早發(fā)現(xiàn)這一神秘的數(shù)學(xué)知識(shí)，一場(chǎng)美麗的誤會(huì)充滿了數(shù)學(xué)文化的趣味性，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。同時(shí)類比引出西方國(guó)家有關(guān)楊輝三角的史實(shí)，充分展現(xiàn)了中國(guó)古代數(shù)學(xué)家的輝煌成就，激發(fā)學(xué)生的民族自豪感，樹(shù)立學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)的信念。

最后引用學(xué)生熟知的現(xiàn)代數(shù)學(xué)家華羅庚的名言作為結(jié)束語(yǔ)：“數(shù)學(xué)是我國(guó)人民擅長(zhǎng)的學(xué)科。我們祖國(guó)偉大人民在人類史上有過(guò)無(wú)比睿智的成績(jī)。”

（四）古為今用

“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問(wèn)題。下圖3是某城市的部分街道圖，縱橫各有三條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)生活中趣味性的問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生思考、動(dòng)手操作實(shí)踐，集思廣益，學(xué)生通過(guò)直接觀察的方式得出結(jié)論。

教師思路：如圖3把圖順時(shí)針轉(zhuǎn)45度變?yōu)閳D4，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉點(diǎn)標(biāo)上相應(yīng)的楊輝三角數(shù)．B處的楊輝三角數(shù)與A到B的走法有什么關(guān)系？

結(jié)論：B處所對(duì)應(yīng)的數(shù)6，正好是答案 6．

猜想：每個(gè)交點(diǎn)上的楊輝三角數(shù)，就是從A到達(dá)該點(diǎn)的方法數(shù)．

【設(shè)計(jì)意圖】將生活實(shí)際中的路線問(wèn)題，借助楊輝三角知識(shí)解題，自然過(guò)渡到本課所學(xué)新知，體現(xiàn)楊輝三角的應(yīng)用價(jià)值。

變式：“縱橫路線圖”是數(shù)學(xué)中的一類有趣的問(wèn)題。下圖5是某城市的部分街道圖，縱橫各有五條路，如果從A處走到B處 (只能由北到南，由西向東)，那么有多少種不同的走法？

【設(shè)計(jì)意圖】變式題同樣的方法，轉(zhuǎn)化為圖6，借助楊輝三角圖7。借助學(xué)生常外出旅游的經(jīng)歷，激發(fā)學(xué)生對(duì)本問(wèn)題的興趣，開(kāi)動(dòng)腦筋思考答案，動(dòng)手操作得出結(jié)論。教師引導(dǎo)，揭示楊輝三角與縱橫路線圖問(wèn)題有天然的聯(lián)系，從而揭秘楊輝三角在生活中無(wú)處不在的價(jià)值體現(xiàn)。

（五）提升思考

（2006年中考日照市卷第17題）德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了下面的單位分?jǐn)?shù)三角形（單位分?jǐn)?shù)是分子為1，分母為正整數(shù)的分?jǐn)?shù)）：

根據(jù)前5行的規(guī)律，可以知道第6行的數(shù)依次是： ．

【設(shè)計(jì)意圖】借助本題引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)楊輝三角在考試中可能出現(xiàn)的形式，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生掌握類比的思想和轉(zhuǎn)化的方法。幫助學(xué)生先觀察題中的單位分?jǐn)?shù)三角形，逐步引導(dǎo)尋找單位分?jǐn)?shù)三角形與楊輝三角的不同之處，層層遞進(jìn)，深入剖析，找出規(guī)律，借助楊輝三角的知識(shí)解決本題。

（六）課堂總結(jié)

通過(guò)楊輝三角故事的品讀，感受到楊輝三角內(nèi)在的奧秘，體會(huì)到數(shù)學(xué)文化的趣味性，欣賞數(shù)學(xué)文化的美妙之處，并深深被數(shù)學(xué)文化的魅力所折服。

（七）作業(yè)設(shè)計(jì)

1.查閱《楊輝三角》相關(guān)資料。

2.復(fù)習(xí)鞏固《楊輝三角》的規(guī)律。

（八）板書設(shè)計(jì)

相關(guān)鏈接>>

相聚于網(wǎng)絡(luò)，相知因數(shù)學(xué)，相交為征文——第三屆數(shù)學(xué)文化征文活動(dòng)通知

第三屆數(shù)學(xué)文化征文比賽評(píng)委簡(jiǎn)介

第二屆數(shù)學(xué)文化征文比賽通知

第一屆數(shù)學(xué)文化征文活動(dòng)文章集錦

已發(fā)文章>>

001 萊布尼茨、二進(jìn)制和伏羲卦圖

002 美學(xué)視角下的數(shù)學(xué)教學(xué) —— 讀《數(shù)學(xué)的美與理》有感

003 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)與黎曼猜想 ——《數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史：確定性的消失》讀后思考

004 數(shù)學(xué)與文化并重 知識(shí)與興趣同行 ——“算籌記數(shù)”教學(xué)思考

005 數(shù)學(xué)是多維度的藝術(shù)——讀《數(shù)學(xué)家的眼光》有感

006 從擲骰子到阿爾法狗：趣談概率

007 中學(xué)數(shù)學(xué)中分類思想的教學(xué)與拓展

008 守門的秘密

009 探數(shù)學(xué)文化，啟數(shù)學(xué)之美——以高中數(shù)學(xué)《割圓術(shù)》為例

010 基于數(shù)學(xué)史視角的高中數(shù)學(xué)教學(xué)思考

011 我是怎樣讀《幾何原本》的

012 相映成趣的兩座數(shù)學(xué)橋

013 HPM視角下的數(shù)學(xué)概念教學(xué)——“平面直角坐標(biāo)系”教學(xué)設(shè)計(jì)

014 極限定義新講：動(dòng)態(tài)定義與靜態(tài)定義

015 把握思想方法，自主提升數(shù)學(xué)素養(yǎng) ——讀《讓知識(shí)自然生長(zhǎng)》有感

016 讀北大張順燕教授《數(shù)學(xué)的源與流》的幾點(diǎn)收獲

017 中國(guó)古代數(shù)學(xué)對(duì)“一帶一路”沿線國(guó)家的影響

018 數(shù)學(xué)閱讀錦上添花，實(shí)踐成果領(lǐng)航數(shù)壇新征程

019 提高概率教學(xué)質(zhì)量的幾點(diǎn)思考

020 溫故建構(gòu)新知 論證生成巧思 ——三角形的中位線定理的探究

021 讀《學(xué)好數(shù)學(xué)并不難》有感

022 體驗(yàn)經(jīng)典證法 滲透數(shù)學(xué)文化 ——以“勾股定理（第一課時(shí)）”教學(xué)為例

023 數(shù)學(xué)文化 文化數(shù)學(xué) ——融合數(shù)學(xué)文化的中考試題的品析與啟示

024 善用數(shù)學(xué)文化 靈動(dòng)數(shù)學(xué)課堂 優(yōu)化育人途徑

025 基于數(shù)學(xué)文化的高中數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐與研究

026 數(shù)學(xué)中的美—— 讀《數(shù)學(xué)文化中的美育滲透》有感

027 利用“去分母”解一元一次方程教學(xué)設(shè)計(jì)

028 海倫公式

029 《鏡花緣》中的數(shù)學(xué)“緣”

030 基于認(rèn)知發(fā)展的數(shù)學(xué)理解教學(xué) ——讀《數(shù)學(xué)教學(xué)心理學(xué)》所思所行

031 做一位有文化的數(shù)學(xué)教師 ——讀《數(shù)學(xué)教育中的數(shù)學(xué)文化》所感

032 向下扎根，追尋成長(zhǎng)

033 運(yùn)用讀思達(dá)進(jìn)行中考文化類試題解題策略研究 ——以2021福建、北京中考試題為例

034 2021年中考中的傳統(tǒng)文化試題

035 數(shù)學(xué)文化閱讀課——《圓周率的歷史》

036 小學(xué)低年段課堂中滲透數(shù)學(xué)文化的思考 ——讀張齊華老師《用文化潤(rùn)澤數(shù)學(xué)課堂》有感

037 五光十色的數(shù)學(xué)之《數(shù)學(xué)及其歷史》觀后有感

038 小折紙，有大歷史 ——可以寫入教材的“一刀剪”最大精確五角星折法

039 新高考改革背景下數(shù)學(xué)文化情境試題的考查研究 ——兼評(píng)2020年高考數(shù)學(xué)文化試題

040 淺談《怎樣解題》對(duì)教學(xué)的指導(dǎo)

041 如何讓數(shù)學(xué)文化浸潤(rùn)常態(tài)化課堂教學(xué)——讀顧亞龍《以文“化”人》專著有感

042 中學(xué)教材和中考命題中的數(shù)學(xué)文化探析

043 在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中滲透民族文化自信

044 初中數(shù)學(xué)教學(xué)中數(shù)學(xué)文化的滲透策略

045 第二章 探索圖形的規(guī)律——火柴棍里的數(shù)學(xué)文化課堂實(shí)錄

046 淺談數(shù)學(xué)文化在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的滲透

047 核心素養(yǎng)視角下數(shù)學(xué)活動(dòng)的實(shí)施策略探究

048 基于數(shù)學(xué)史視角的初中數(shù)學(xué)教學(xué)思考——讀《數(shù)學(xué)文化漫談》有感

049 讀《張奠宙數(shù)學(xué)教育隨想集》有感

050 讀浙大蔡天新教授《數(shù)學(xué)傳奇》有感

051 HPM視野下《一元二次方程概念》教學(xué)實(shí)錄與設(shè)計(jì)分析

052 探尋單位“1”下的直觀模型 ——讀《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)的情歌》有感

053 數(shù)是現(xiàn)實(shí)與想象的結(jié)合 ——讀《度量：一首獻(xiàn)給數(shù)學(xué)的情歌》的想象

054 基于數(shù)學(xué)之美的小學(xué)數(shù)學(xué)命題設(shè)計(jì)

055 “將軍飲馬”問(wèn)題的前世今生

056 一次“數(shù)學(xué)文化”答題活動(dòng)的題目設(shè)計(jì)