性質(zhì)2 如果將行列式的任意兩行互換， 那么行列式的值改變符號，即 例如 ． 性質(zhì)3 如果行列式中兩行對應(yīng)元素全 部相同，那么行列式的值為零，即 ． 行 行 例 性質(zhì)4 行列式一行的公因子可以提 到行列式記號的外面，即 例如 推論2 如果行列式中有一行的全部元素都是零，那么這個行列式的值是零. 推論1 一個數(shù)乘行列式等于該數(shù)乘行列式中某一行的全部元素. 性質(zhì)5 行列式中如果兩行對應(yīng)元素成比例，那么行列式的值為零. ， 那么此行列式等于兩個行列式之和. 性質(zhì)6 行列式中一行的每一個元素如果可以寫成兩數(shù)之和， 即 例如二階行列式 ． 性質(zhì)7 在行列式中，把某一行的k倍加到另 一行對應(yīng)的元素上去,那么行列式的 值不變，即 用性質(zhì)6和性質(zhì)5可證之. 例 在計算行列式時, 可以使用如下記號以便檢查: 符號規(guī)定 第i 行乘以數(shù)k? 記作 kri ? 交換i? j 兩行記作 ri?rj ? 交換i? j 兩列記作 ci?cj? 以數(shù)k乘第j 行加到第 i 行上? 記作 krj +ri ? 切記：krj +ri不同于ri + krj 例1 計算下面行列式的值． ； ． 應(yīng)用舉例 解 把 的第二行的元素分別看成： 300-10，100+6，200-4，由性質(zhì)4，得 而由推論2和性質(zhì)3、性質(zhì)5，得 ， ， 所以 ． 例2 計算行列式的值 解 例3 證明 證 ． 思考題 思考題解答 解 河南職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)社科部 §1.1 n 階行列式 第一章 行列式 §1.2 行列式的性質(zhì) §1.3 克拉默法則 §1.4 克萊姆法則解線性方程組 用消元法解二元線性方程組 一、二階行列式的引入 方程組的解為 由方程組的四個系數(shù)確定. 由四個數(shù)排成二行二列的數(shù)表 定義 即 主對角線 副對角線 對角線法則 二階行列式的計算 若記 對于二元線性方程組 系數(shù)行列式 22 12 a a 21 11 a a D = 則二元線性方程組的解為 注意 分母都為原方程組的系數(shù)行列式. 例1 解 二、三階行列式 定義 記 式稱為數(shù)表所確定的三階行列式. 沙路法 三階行列式的計算 .列標(biāo) 行標(biāo) 對角線法則 注意 紅線上三元素的乘積冠以正號，藍(lán)線上三 元素的乘積冠以負(fù)號． 說明1 對角線法則只適用于二階與三階行列式． 如果三元線性方程組 的系數(shù)行列式 利用三階行列式求解三元線性方程組 2. 三階行列式包括3!項,每一項都是位于不同行, 不同列的三個元素的乘積,其中三項為正,三項為 負(fù). 則三元線性方程組的解為: 例２ 解 按對角線法則，有 例3 解 方程左端 例4 解線性方程組 解 由于方程組的系數(shù)行列式 同理可得 故方程組的解為: 二階和三階行列式是由解二元和三元線性方 程組引入的. 對角線法則 二階與三階行列式的計算 小結(jié) 對于數(shù)碼 is 和 it ： 逆序數(shù)：一個排列中逆序的個數(shù)， 例 求 132 、436512 的逆序數(shù) 解 逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列， n 階排列：由n個不同的數(shù)碼1,2,…n組成的有序數(shù)組 132 是奇排列， 436512 是偶排列。 但 312是偶排列， 634512、436521是奇排列。 三、排列與逆序數(shù) 大前小后叫逆序 記為： 為奇數(shù)的稱為奇排列。 可見：交換任何兩個元素改變了排列的奇偶性！ 再分析P. 5的表1-1 排列 1 2 3 1 3 2 2 1 3 2 3 1 3 1 2 3 2 1 逆 序 無 32 21 21，31 31，32 32，31，21 逆 序 數(shù) 0 1 1 2 2 3 奇偶性 偶 偶 偶 奇 奇 奇 ? 一個對換改變排列的奇偶性； ? 3!個排列中，奇、偶排列各占一半。 定義 一個排列的兩個元素交換位置,其余元素 不動,稱為對換. 相鄰兩個元素的對換稱為相鄰對換. 定理1 對換改變排列的奇偶性。 證 設(shè)元素 i,j 相鄰： ? 若 i j , 則新排列增加一個逆序; ? 若 i j , 則新排列減少一個逆序。 — 改變了奇偶性 設(shè)元素 i,j 不相鄰： 共作了2s+1次相鄰對換， 由知，排列改變了奇偶性。 定理2 n 個數(shù)碼構(gòu)成 n! 個n 級排列， 奇偶排列各占一半。 證 設(shè)有p 個奇排列，q 個偶排列， p 個奇排列 p 個偶排列 q 個偶排列 q 個奇排列 四、n 階行列式的定義 定義 其中 稱為的第 行第 列的元素 ． 橫排稱行,豎排稱列. 的一般項還可記為 列標(biāo)按自然順序排列 n階行列式的另外兩種表示 特別： 對角形行列式等于對角線上元素之乘積 O O 例 定義 中的行與列按原來的順序互換，得到的新行列式稱為原行列式的轉(zhuǎn)置行列式,記為D T. 把n階行列式 五、行列式的性質(zhì) 顯然 也是 的轉(zhuǎn)置行列式. 例如 ． 性質(zhì)1 行列式 與它的轉(zhuǎn)置行列式 相 等，即 ． 說明 行列式中行與列具有同等的地位,因此行列 式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立. 河南職業(yè)技術(shù)學(xué)院基礎(chǔ)社科部

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