第2章 矩陣;2.1.1矩陣的定義定義1 由 個數(shù) 按一定順序排成 行 列的數(shù)表稱為一個 行 列矩陣，簡稱 矩陣，記為或 ，其中 表示位于第 行第 列的數(shù),稱為 的元素，所以 矩陣也可以簡記為 或 ．;2.1.2 幾種特殊形式的矩陣行矩陣 當(dāng) 時，即只有一行的矩陣稱為行矩陣或行向量．列矩陣 當(dāng) 時，即只有一列的矩陣稱為列矩陣或列向量．;即其中元素 稱為 階方陣的主對角元素，過元素 的直線稱為 階方陣的主對角線． 階對角陣 非主對角元素全為零的 階方陣稱為 階對角矩陣，即 ;記為; 階單位矩陣 主對角元素全為1，其余元素全為零的 階方陣稱為 階單位矩陣，即 且 記為或; 階數(shù)量矩陣 主對角元素等于同一個數(shù) 的 階對角陣，稱為 階數(shù)量矩陣，記為或; 2.2 矩陣的運(yùn)算;2.2.1 矩陣的線性運(yùn)算1．矩陣的加法定義2 兩個 的同型矩陣 和 的對應(yīng)元素相加，所得 的矩陣稱為矩陣 與的和,記為 ，即;例1 設(shè) 而 無意義．;2．?dāng)?shù)與矩陣的乘法 定義3 用數(shù) 乘以 矩陣 的所有元素，所得的 矩陣稱為數(shù) 與矩陣 的數(shù)乘矩陣，簡稱數(shù)乘，記為 ，即 當(dāng) 時，稱 為矩陣 的負(fù)矩陣，顯然有 ;所以矩陣的減法可定義為矩陣的加法和數(shù)與矩陣的乘法統(tǒng)稱為矩陣的線性運(yùn)算，其運(yùn)算規(guī)律： ； ； ； ； ； ． ;例2 設(shè)且 ，求矩陣 ．解 在 等式兩端同加上 ，得;上式兩端同乘 ，得;2.2.2 矩陣與矩陣相乘定義4 設(shè) 是一個 矩陣， 是一個 矩陣，則規(guī)定 與 的乘積是一個矩陣 ，其中記為 ;例3 設(shè)矩陣求乘積 ．解 ; 例4 設(shè)矩陣 ，求 及 ．解 ;例5 設(shè) ， 求 與 ．解 ;矩陣乘法的運(yùn)算規(guī)律：結(jié)合律： 分配律： 對任意數(shù) 有設(shè) 是 矩陣 ，則 ，或簡記為 即單位矩陣是矩陣乘法的單位元，作用類似于乘法中的數(shù)1． ;定義5 方陣 的 次冪定義為 個方陣 連乘，即 其中 為正整數(shù)，規(guī)定 ，其運(yùn)算規(guī)律： ； 為正整數(shù) ．因?yàn)榫仃嚦朔ú粷M足交換律，所以兩個 階方陣 與 ，一般來說;2.2.3 矩陣的轉(zhuǎn)置定義6 將 矩陣 的行換成同序數(shù)的列，所得的 矩陣稱為 的轉(zhuǎn)置矩陣，記為 或 ，即其運(yùn)算規(guī)律： ；; ； ； ．例6 已知 求 ．解法1 因?yàn)?;所以解法2 ;定義7 設(shè) 為 階方陣，若滿足 ，則稱 為對稱矩陣，即其特點(diǎn)是：關(guān)于主對角線對稱的元素相等．若滿足 ，則稱 為反對稱矩陣，即 ，當(dāng) 時， ，其特點(diǎn)是：關(guān)于主對角線對稱的元素相反，主對角線上的元素全為零．;2.2.4 方陣的行列式定義8 由 階方陣 的所有元素構(gòu)成的行列式，稱為方陣 的行列式，記為 或 ，即其運(yùn)算規(guī)律： ； 為 階方陣） ； ;2.2.5 共軛矩陣當(dāng) 為復(fù)矩陣時，用 表示 的共軛復(fù)數(shù)，記 ， 稱為 的共軛矩陣．其運(yùn)算規(guī)律： ； ； ．;2.3 逆矩陣;2.3.1 逆矩陣的定義及性質(zhì)定義9 設(shè) 為 階方陣，若存在 階方陣 ，使 ，則稱方陣 可逆， 為 的逆矩陣．若 可逆，則 的逆矩陣是惟一的．可逆矩陣的性質(zhì)： 若 可逆，則其逆陣 也可逆，且若 可逆，則 也可逆，且 ;若 可逆， 為非零常數(shù)，則 也可逆，且若 ， 為同階可逆陣，則 也可逆，且 ;2.3.2 方陣 可逆的充分必要條件及 的求法定義10 設(shè) 階方陣 由 的行列式 的所有元素的代數(shù)余子式 所構(gòu)成的 階方陣稱為矩陣的伴隨矩陣. ;定理1 設(shè) 是 階方陣， 為 的伴隨矩陣，則定理2 階方陣 可逆 ，且 推論 若 ，則 ． ;例1 設(shè)判斷 是否可逆，若可逆，求 ．解 因?yàn)?所以 可逆，又因?yàn)橛?;所以求矩陣 ，使?jié)M足 .解 若 ， 存在，則用 左乘上式， 右乘上式， ;有即 ．由例1知， 可逆，且又因 ， 也可逆，且;所以;2.4 分塊矩陣;2.4.1 分塊矩陣的概念 設(shè) 是 矩陣，用若干條橫線和豎線將矩陣分成若干個小塊，每一小塊作為一個小矩陣，稱為 的子塊，在進(jìn)行矩陣運(yùn)算時，可以將 的每一個子塊作為一個元素，這種以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣． ;2.4.2 分塊矩陣的運(yùn)算1.分塊矩陣的線性運(yùn)算① 分塊矩陣的加法設(shè) 與 為同型矩陣，且以相同的方式分塊，即其中 與 也是同型矩陣，則;②數(shù)與分塊矩陣的乘法設(shè) 為數(shù)，則;2.分塊矩陣的乘法 設(shè) 為 矩陣， 為 矩陣，若它們的分塊矩陣分別為其中子塊 的列數(shù)分別等于子塊 的行數(shù)，即矩陣 的列的分法與矩陣 的行的分法一致，則;其中求 ． ; 解 將 、 分塊成;;3.分塊矩陣的轉(zhuǎn)置設(shè) 4．分塊對角陣及其運(yùn)算設(shè) 為 階方陣，若 的分塊矩陣的主對角元素為非零子塊，其余子塊均為零子塊，且非零子塊均為方陣， ; 其中 為方陣，則稱 為分塊對角陣． 分塊對角陣的行列式與各主對角塊的行列式滿足： ;由此可知，若 ，則 ，并有 或 ;例2 設(shè)求 ．解 將 按元素特征分塊為其中;所以;2.5 矩陣的初等變換與初等矩陣;2.5.1 矩???的初等變換1．初等行變換定義11 下列三種變換稱為矩陣的初等行變換：對換變換：對換矩陣的某兩行 ；數(shù)乘變換：非零數(shù) 乘矩陣某行的所有元素；倍加變換：將矩陣的某一行所有元素的 倍加到另一行對應(yīng)元素上．;若將上述定義中的“行”換成“列”，即對矩陣的列施行上面三種變換，就稱為矩陣的初等列變換，相應(yīng)的初等列變換分別記 ， ， ．2．初等變換 矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換．3．等價關(guān)系 如果矩陣 經(jīng)過有限次初等變換化為矩陣 ，則稱 與 等價，記為 ．矩陣的等價具有以下性質(zhì)： 自反性： ；對稱性：若 則 ；傳遞性：若 ， ，則 ;4．特殊矩陣行階梯形矩陣 如果矩陣中元素全為零的行在最下面，而非零行中非零元素自上而下逐行減少并呈階梯狀，稱此矩陣為行階梯形矩陣．行最簡形矩陣 若行階梯形矩陣中的非零行的第一個非零元素為1，且1所在列的其它元素全為零，稱此行階梯形矩陣為行最簡形矩陣．若 矩陣的左上角為一個 階單位陣，其余元素全為零，即;稱此矩陣為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，它由 三個數(shù)惟一確定，其中 為標(biāo)準(zhǔn)形矩陣中非零行的行數(shù)．;2.5.2 初等矩陣定義12 單位矩陣經(jīng)一次初等變換所得的矩陣稱為初等矩陣．三種初等行變換對應(yīng)的三種初等矩陣分別為： 或 ：交換 的 兩行所得的矩陣，即; 或 ： 的第 行乘非零數(shù) 所得的矩陣，即 或 ： 的第 行乘 加到第行所得的矩陣， ;即初等矩陣都是可逆的，其逆矩陣仍是同種初等矩陣，即 ;定理3 設(shè) 為 矩陣，對 施行一次初等行變換，相當(dāng)于在 的左邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣；對 施行一次初等列變換，相當(dāng)于在的右邊乘以相應(yīng)的 階初等矩陣．定理4 若 為 矩陣，則存在 階初等矩陣 與 階初等矩陣 ，使得推論1 階可逆陣 必等價于單位矩陣 ．推論2 若方陣 可逆，則存在有限個初等矩陣 ，使 ．;推論3 矩陣 存在 階可逆陣 和 階可逆陣 ，使 ．用初等列變換也可求逆矩陣，即例1 設(shè) 求 ． ;解 ;所以 ;例2 求矩陣 ，使 ，其中 解 若 可逆，則 ． ;所以 ;2.6 矩陣的秩;2.6.1 矩陣秩的定義定義13 設(shè) 為 矩陣，在 中任取 行和列 ，位于這 行 列交叉位置上的 個元素，按原有的位置構(gòu)成的 階方陣，稱為矩陣 的一個 階子方陣，其行列式稱為 的一個 階子式．定義14 設(shè) 矩陣 中，有一個 階子式 不等于零，而所有 階子式全等于零，則稱 為矩陣 的最高階非零子式，稱數(shù) 為矩陣 的秩，記為 ．并規(guī)定零矩陣的秩為零． ;2.6.2 矩陣秩的性質(zhì) 設(shè) 為 矩陣，則 ； ； ； ； ，其中 為 矩陣， 為矩陣 ． ;2.6.3 初等變換求矩陣的秩 定理5 若 ，則 ．推論1 若 為 階可逆矩陣，則 推論2 若 則 ．推論3 設(shè) 為 矩陣， 、 分別為 階和 階滿秩矩陣，則 ; 例 設(shè) 求矩陣 的秩． 解 將 施行初等行變換化為行階梯形矩陣： ;所以; 階三角陣 階上三角陣和 階下三角陣統(tǒng)稱為 階三角陣．①上三角陣 主對角線下方的元素全為零的 階方陣，即 ，稱為上三角形矩陣，簡稱上三角陣，記為 或 ;②下三角陣 主對角線上方的元素全為零的 階方陣，即 ，稱為下三角形矩陣，簡稱下三角陣，記為 或 ;同型矩陣 矩陣 的行數(shù)等于矩陣 行數(shù)，稱 和 是同型矩陣．相等矩陣 若 與 是同型矩陣，且則稱 與 相等，記為 ．注意：不同型的零矩陣是不相等的．

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