高考圓錐曲線最經(jīng)典題型總結(jié)

第一定義、第二定義、雙曲線漸近線等考查

1、設雙曲線的—個焦點為F;虛軸的—個端點為B，如果直線FB與該雙曲線的一條漸

近線垂直，那么此雙曲線的離心率為

【答案】D

2、設拋物線y2=8x的焦點為F，準線為l,P為拋物線上一點,PA⊥l,A為垂足.如果直線AF的斜率為 ,那么|PF|=

8 16

【答案】B

3、8.動點 到點 的距離與它到直線 的距離相等，則 的軌跡方程為 y2?8x 。

4、已知拋物線 的準線為 ，過 且斜率為 的直線與 相交于點 ，與 的一個交點為 .若 ，則 .

若雙曲線 - =1的漸近線方程式為y= ，則b等于。

【答案】1

5、已知橢圓 的兩焦點為 ,點 滿足 ,則| |+ |的取值范圍為_______，直線 與橢圓C的公共點個數(shù)_____。

6、已知點P是雙曲線 右支上一點， 、分別是雙曲線的左、右焦點，I為 的內(nèi)心，若 成立，則雙曲線的離心率為

A.4 B. C.2 D.

8、到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是

A. 直線 B. 橢圓 C. 拋物線 D. 雙曲線

解析：排除法 軌跡是軸對稱圖形，排除A、C，軌跡與已知直線不能有交點 ，排除B

9、橢圓 的右焦點 ，其右準線與 軸的交點為A，在橢圓上存在點P滿足線段AP的垂直平分線過點 ，則橢圓離心率的取值范圍是

解析：由題意，橢圓上存在點P，使得線段AP的垂直平分線過點 ，

即F點到P點與A點的距離相等

而|FA|=

|PF|∈[a-c,a+c]

于是 ∈[a-c,a+c]

即ac-c2≤b2≤ ac+c2

∴

?

又e∈

故e∈

答案：D

10、若點O和點 分別是雙曲線 的中心和左焦點,點P為雙曲線右支上的任意一點,則 的取值范圍為

A. B. C. D.

【答案】B

11、已知有公共焦點的橢圓與雙曲線中心為原點，焦點在 軸上，左右焦點分別為 ，且它們在第一象限的交點為P， 是以 為底邊的等腰三角形.若 ，雙曲線的離心率的取值范圍為 .則該橢圓的離心率的取值范圍是 .

12、 已知雙曲線 的左頂點為 ，右焦點為 ， 為雙曲線右支上一點，則 的最小值為___________.

13、直線 過雙曲線 的右焦點且與雙曲線的兩條漸近線分別交于 ， 兩點，若原點在以 為直徑的圓外，則雙曲線離心率的取值范圍是 .

14、已知 、 為雙曲線C: 的左、右焦點，點P在C上，∠ = ，則

2 4 6 8

15、已知 、 為雙曲線C: 的左、右焦點，點P在C上，∠ P = ，則P到x軸的距離為

16、已知以F為焦點的拋物線 上的兩點A、B滿足 ,則弦AB的中點到準線的距離為___________.

解析：設BF=m,由拋物線的定義知

中，AC=2m,AB=4m,

直線AB方程為

與拋物線方程聯(lián)立消y得

所以AB中點到準線距離為

17、已知橢圓 的方程為 ， 、 和 為 的三個頂點.

若點 滿足 ，求點 的坐標;

設直線 交橢圓 于 、 兩點，交直線 于點 .若 ，證明： 為 的中點;

設點 在橢圓 內(nèi)且不在 軸上，如何構(gòu)作過 中點 的直線 ，使得 與橢圓 的兩個交點 、 滿足 ?令 ， ，點 的坐標是，若橢圓 上的點 、 滿足 ，求點 、 的坐標.

解析： ;

由方程組 ，消y得方程 ，

因為直線 交橢圓 于 、 兩點，

所以?>0，即 ，

設C、D，CD中點坐標為，

則 ，

由方程組 ，消y得方程x?p，

又因為 ，所以 ，

故E為CD的中點;

因為點P在橢圓Γ內(nèi)且不在x軸上，所以點F在橢圓Γ內(nèi)，可以求得直線OF的斜率k2，由 知F為P1P2的中點，根據(jù)可得直線l的斜率 ，從而得直線l的方程.

，直線OF的斜率 ，直線l的斜率 ，

解方程組 ，消y：x2?2x?48?0，解得P1、P2.

18、

己知斜率為1的直線l與雙曲線C： 相交于B、D兩點，且BD的中點為 .

求C的離心率;

設C的右頂點為A，右焦點為F， ，證明：過A、B、D三點的圓與x軸相切.

19、橢圓 經(jīng)過點 ，對稱軸為坐標軸，

焦點 在 軸上，離心率 。

求橢圓 的方程;

求 的角平分線所在直線的方程。

20、

已知拋物線 的焦點為F，過點 的直線 與 相交于 、 兩點，點A關于 軸的對稱點為D.

證明：點F在直線BD上;

設 ，求 的內(nèi)切圓M的方程 .

21、在平面直角坐標系 中，如圖，已知橢圓 的左、右頂點為A、B，右焦點為F。設過點T的直線TA、TB與橢圓分別交于點M 、 ，其中m>0, 。

設動點P滿足 ,求點P的軌跡;

設 ，求點T的坐標;

設 ,求證：直線MN必過x軸上的一定點。

22、在直角坐標系 中，點M到點 的距離之和是4，點M的軌跡是C與x軸的負半軸交于點A，不過點A的直線 與軌跡C交于不同的兩點P和Q.

求軌跡C的方程;

當 時，求k與b的關系，并證明直線 過 定點.

解： 的距離之和是4，

的軌跡C是長軸為4，焦點在x軸上焦中為 的橢圓，

其方程為 …………3分

將 ，代入曲線C的方程，

整理得

…………5分

因為直線 與曲線C交于不同的兩點P和Q，

所以 ①

設 ，則

② ………… 7分

且 ③

顯然，曲線C與x軸的負半軸交于點A，

所以

由

將②、③代入上式，整理得 …………10分

所以

即 經(jīng)檢驗，都符合條件①

當b=2k時，直線 的方程為

顯然，此時直線 經(jīng)過定點點.

即直線 經(jīng)過點A，與題意不符.

當 時，直線 的方程為

顯然，此時直線 經(jīng)過定點 點，且不過點A.

綜上，k與b的關系是：

且直線 經(jīng)過定點 點 …………13分

23、

已知中心在原點，焦點在 軸上的橢圓C的離心率為 ，且經(jīng)過點 ，過點P的直線 與橢圓C在第一象限相切于點M .

求橢圓C的方程;

求直線 的方程以及點M的坐標;

)是否存過點P的直線 與橢圓C相交于不同的兩點A、B，滿足 ?若存在，求出直線l1的方程;若不存在，請說明理由.

解設橢圓C的方程為 ，由題意得

解得 ，故橢圓C的方程為 .……………………4分

因為過點P的直線l與橢圓在第一象限相切，所以l的斜率存在，故可調(diào)直線l的議程為

由 得 . ①

因為直線 與橢圓 相切，所以

整理 ，得 解得 [

所以直線l方程為

將 代入①式，可以解得M點橫坐標為1，故切點M坐標為 …………9分

若存在直線l1滿足條件，的方程為 ，代入橢圓C的方程得

因為直線l1與橢圓C相交于不同的兩點A，B，設A，B兩點的坐標分別為

所以

所以 .

又 ，

因為 即 ，

所以 .

即

所以 ，解得

因為A，B為不同的兩點，所以 .

于是存在直線 1滿足條件，其方程為 ………………………………13分

24、直線 的右支交于不同的兩點A、B.

求實數(shù)k的取值范圍;

是否存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F?若存在，求出k的值;若不存在，說明理由.

答案：.解：將直線

……①

依題意，直線l與雙曲線C的右支交于不同兩點，故

設A、B兩點的坐標分別為 、 ，則由①式得

……②

假設存在實數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點F.

則由FA⊥FB得：

整理得

……③

把②式及 代入③式化簡得

解得

可知 使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的右焦點.