知識(shí)就是力量，說(shuō)了這么多歷史，換個(gè)口味聊聊其他的。古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家芝諾（公元前490年~公元前430年）提出的一系列關(guān)于運(yùn)動(dòng)的不可分性的哲學(xué)悖論，其中比較著名的就是“阿基里斯追烏龜悖論”。這是記錄在亞里士多德《物理學(xué)》中的一道數(shù)學(xué)題。

悖論一詞的英文 paradox 出現(xiàn)于 16 世紀(jì)， 源自拉丁文的 paradoxum， 后者又源自希臘文的παρ?δοξο? (parádoxos)， 意為有悖于正統(tǒng)、 出乎定見之外等。 悖論長(zhǎng)期以來(lái)就很受哲學(xué)家青睞，由于要 “有悖于正統(tǒng)” 或 “出乎定見之外”， 故免不了要包含觀點(diǎn)之辨——包括詭辯， 這跟單純闡述學(xué)說(shuō)是有差別的， 這種差別使芝諾被很多人視為是辯證法 (Dialectics) 的鼻祖。?

據(jù)公元 4 世紀(jì)的希臘哲學(xué)家普羅克洛 (Proclus) 記述， 芝諾的著作包含了 40 個(gè)悖論。 可惜那著作早已不存， 后世依據(jù)的只是柏拉圖、 亞里士多德 (Aristotle) 等人的轉(zhuǎn)述。在亞里士多德《物理學(xué)》中記載了芝諾4個(gè)運(yùn)動(dòng)悖論，其中我們今天耳熟能詳?shù)氖牵喊⒒锼古c烏龜悖論 (Paradox of Achilles and the Tortoise)。?

該悖論中的阿基里斯 (Achilles) 是希臘神話中的勇士，體力過(guò)人、長(zhǎng)于奔跑，烏龜則是被廣泛視為移動(dòng)緩慢的動(dòng)物。阿基里斯與烏龜悖論宣稱如果阿基里斯與烏龜賽跑，只要讓烏龜先爬一段路， 阿基里斯就不可能追上。理由是：每當(dāng)阿基里斯追到烏龜先前所在的位置時(shí)，烏龜總是又往前爬了一段…… 這個(gè)過(guò)程無(wú)法窮盡，故而阿基里斯不可能追上烏龜。

?當(dāng)然在實(shí)際生活里這是不可能發(fā)生的。在歷史上，亞里士多德在《物理學(xué)》 (Physics) 一書中就給出了一個(gè)很漂亮的反駁，要點(diǎn)是指出芝諾只對(duì)空間進(jìn)行了無(wú)窮分割， 卻忘記了同樣的手法也可用于時(shí)間。 只要對(duì)時(shí)間和空間作同樣的無(wú)窮分割， 走完芝諾分割出的無(wú)窮多個(gè)中點(diǎn) (或兩兩之間的無(wú)窮多段路徑) 就只需有限的時(shí)間， 因?yàn)槟菍?shí)際上是從用有限時(shí)間中分割出的無(wú)窮多個(gè)時(shí)間點(diǎn) (或兩兩之間的無(wú)窮多段時(shí)間) 來(lái)完成的。

芝諾可謂是最早對(duì)無(wú)窮這一概念進(jìn)行深入思考的古希臘先賢，芝諾的悖論并非普通的詭辯，而是一段漫長(zhǎng)探索的起點(diǎn)。為無(wú)窮這一概念建立可靠基礎(chǔ)后來(lái)成了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究的重要組成部分。芝諾悖論引出的這種思想，正是微積分的思想基礎(chǔ)。微積分其實(shí)就是把函數(shù)分割為無(wú)窮多份，然后再累加。