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利維坦按：

“對于我們的理性推論存在著兩大原則：其一是矛盾原則，這就是說，兩個相互矛盾的命題中一個是真理，另一個是謬誤；其二是充足理由原則，根據(jù)此一原則，任何事物的產(chǎn)生都不可能沒有原因或者至少不會沒有一個確定的理由。這是指某種能夠用來先天地進(jìn)行解釋的東西，它說明為什么某物存在著而不是不存在，為什么某物恰恰如此存在而不是以完全另一種方式存在。”萊布尼茨的本體論證明是基于《神義論》中的兩個原則，當(dāng)然，如果按照休謨的懷疑論來看，它仍然需要回答一個問題，即：為何作為整體的宇宙/世界必須要有一個充足的理由呢？或者說，存在是一個經(jīng)驗事實，還是超驗事實？

萊布尼茨那句“我們的宇宙，在某種意義上是上帝所創(chuàng)造的最好的一個”，或許在很多人看來過于樂觀，但在他的自有認(rèn)知體系中，卻是對于惡之存在的一種合理化詮釋——上帝創(chuàng)造世界不可能如上帝本身一樣完美。

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哥德爾：20世紀(jì)最偉大的邏輯學(xué)家之一。? The Conversation

我們知道，庫爾特·哥德爾在人生的最后階段對萊布尼茨做了大量深入的研究工作。哥德爾對萊布尼茨癡迷至極，按照他本人的說法，當(dāng)有人毀掉了萊布尼茨的部分手稿時，卡爾·門格爾問哥德爾：“誰能從毀掉萊布尼茨的手稿中獲得好處？”哥德爾會說：“自然是那些不希望人類變得更聰明的人！”。當(dāng)他的友人們建議他專注于自己的研究，而非鉆研、閱讀萊布尼茨的作品時，他一概置之不理。最終，不出意料，哥德爾繼續(xù)追隨著萊布尼茨的腳步，像萊布尼茨一樣為上帝之存在提供了本體論證明。

戈特弗里德·威廉·萊布尼茨，德國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家。? ND/Roger Viollet/Getty Images

在這篇文章中，我將引用萊布尼茨的成果和闡釋，例如他的通用表意文字和二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)，以便讀者對他的部分成果有所了解，尤其是涉及數(shù)學(xué)哲學(xué)的那一部分。我還將解釋萊布尼茨是如何理解證明和分析的概念的。最后，我將重點討論萊布尼茨在神學(xué)和形而上學(xué)/哲學(xué)框架下的數(shù)學(xué)學(xué)科中的地位。

通用表意文字

“拉丁語‘characteristica universalis’，在英語中通常譯為普遍特征或通用字符，是戈特弗里德·萊布尼茨所設(shè)想出的一種通用的形式語言，能夠表達(dá)數(shù)學(xué)、科學(xué)和形而上學(xué)方面的概念。萊布尼茨希望創(chuàng)建的是一種可以在通用邏輯運算或者說推理演算框架之下加以使用的語言。”

萊布尼茨的“通用表意文字”，這是他推理演算的基礎(chǔ)。? Internet Archive

萊布尼茨意識到，政治或哲學(xué)方面的辯論和研究并不遵循數(shù)學(xué)方法。他認(rèn)為，數(shù)學(xué)家也很可能像其他人一樣犯錯誤，但他們也有一些工具可用以發(fā)現(xiàn)自己的錯誤。然而，哲學(xué)家沒有數(shù)學(xué)家那樣的工具，所以他們往往會犯更多的錯誤。

盡管哲學(xué)界有亞里士多德派或柏拉圖派，數(shù)學(xué)界卻沒有“歐幾里德派”或“阿基米德派”。根據(jù)萊布尼茨的觀點，有必要對思想進(jìn)行數(shù)學(xué)化，以便解決由感情而非正義所支配的爭端；為了使思想中的重要部分形式化，數(shù)學(xué)領(lǐng)域需要產(chǎn)生符號和規(guī)則。

正如萊布尼茨在他的《通用表意文字序言》中解釋的那樣，通用表意文字將揭示我們思維的“字母表”，分析其基本概念，而基于這些概念，就能以一種明確的方式判斷一切事物。因此，主張兩種不同觀點的哲學(xué)家之間將不必再發(fā)生沖突，他們會挨著坐在一起說：“讓我們計算一下吧！”然后他們就能計算出自己想法的準(zhǔn)確性！

萊布尼茨的通用表意文字是一種計算公式。這種思想是基于將基本的或不可約的想法與質(zhì)數(shù)相匹配。一個數(shù)字刻畫一個基本想法：這就是特征數(shù)。讓我們引用萊布尼茨本人在文章中給出的一個例子，他在該篇文章中討論了特征數(shù)文字的樣本。假設(shè)我們給出兩對數(shù)和，它們分別對應(yīng)“人是理性的動物”這一命題中“動物”和“理性”這兩個基本概念。那么刻畫“人”這一概念的數(shù)字就是=。

根據(jù)這一思想，由于質(zhì)數(shù)的數(shù)目是無限的，所有基本或不可約的概念都可以分配到一個、一對或一組三個數(shù)字；因此，其他復(fù)合概念可以以質(zhì)數(shù)乘積的形式獲得，整個語言系統(tǒng)都可以被映射成數(shù)字。

二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)

二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)

二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)在萊布尼茨之前就已經(jīng)存在，但萊布尼茨是第一個以系統(tǒng)、成熟的方式記錄它的人。在一封信中，萊布尼茨描述了他如何處理萬物從無到有和二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)這兩個問題。這是萊布尼茨思想中神學(xué)和數(shù)學(xué)巧妙地發(fā)生相互作用的例子，我會在后面提到這點。

針對萬物創(chuàng)生和二進(jìn)制系統(tǒng)，萊布尼茨設(shè)計了一枚金屬紀(jì)念章。該獎?wù)律峡逃幸韵伦志洌骸皠?chuàng)世的場景”，“自無導(dǎo)出萬物，一足矣”和“只需一物”。萊布尼茨遵循畢達(dá)哥拉斯學(xué)說，聲稱萬物的起源或本質(zhì)是一個數(shù)字。眾所周知，在二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)中，所有的數(shù)字都可以用0和1來表示。萊布尼茨把0解釋為“無”，把1解釋為“上帝”，他認(rèn)為二進(jìn)制系統(tǒng)象征著創(chuàng)造，因此一切都可以用這個系統(tǒng)表達(dá)。對萊布尼茨來說，一切都是0和1的組合。根據(jù)這一理論，萬物都來自“1”，也就是上帝。

萊布尼茨本人繪制并出版了這枚紀(jì)念章。

對萊布尼茨來說，二進(jìn)制數(shù)字系統(tǒng)揭示了上帝創(chuàng)世的美麗和完美。也就是說，二進(jìn)制系統(tǒng)中的單個數(shù)字可能看起來并不美，但是當(dāng)它們被一個接一個地寫下去時，美就從整個系統(tǒng)的秩序感中誕生了。類似地，在這個世界上也許有些東西，我們單獨看它們并不喜歡，但是當(dāng)我們找到正確的視角，就會發(fā)現(xiàn)它是完美的。

萊布尼茨的數(shù)字神秘主義并不止于此，他還說過諸如“上帝喜歡奇數(shù)”之類的話。鑒于我們不想就這個問題展開太多，再舉最后一個例子即可：萊布尼茨說，創(chuàng)世后的第七天在二進(jìn)制中是一個非零數(shù)字，這是對于上帝六天創(chuàng)世的許多數(shù)字類比的一個補(bǔ)充。它還指出，111點代表著三位一體。

現(xiàn)代意義上的“證明”概念

正如科學(xué)哲學(xué)家伊恩·哈金指出的那樣，笛卡爾并不知道什么是當(dāng)代意義上的“證明”。相比之下，萊布尼茨的理解則更接近于現(xiàn)代對證明的定義。他認(rèn)為笛卡爾的數(shù)學(xué)準(zhǔn)確性與證明無關(guān)。對于笛卡爾來說，即使一件真實的事情沒有被證明，它也是自然真實的。因此，事物的真值與對它的證明是不相關(guān)的。

勒內(nèi)·笛卡爾。? 維基百科

我們也不要忘記，笛卡爾并不尋找證明，而是尋找能夠給出新的數(shù)學(xué)結(jié)果的實用方法?，F(xiàn)代證明概念之所以出現(xiàn)，是因為萊布尼茨認(rèn)識到證明的有效性不在于其內(nèi)容，而在于其形式。所以，“證明”是根據(jù)特定邏輯規(guī)則，始于特定同一性的特定句子的有限數(shù)量的序列。

如果我們回憶一下笛卡爾的方法，會注意到他在收集新信息時非常重視直覺，而在萊布尼茲對證明的理解中，關(guān)鍵在于找到我們所擁有的句子的“機(jī)械”證明。

萊布尼茨提出的證明思想多半受到了他那個時代的思想的影響。正如哈金所說，習(xí)慣上每個時代都有一位深深動搖了此前各種思想的人，而每個時代的人們也要找到并推翻這個人；萊布尼茨就在他的時代扮演著這樣一個角色。

事實上，有關(guān)他那個時代“證明”這一觀念的出現(xiàn)，萊布尼茨本人提供了一個說得過去的解釋。當(dāng)幾何作為精確度的衡量標(biāo)準(zhǔn)時，很難發(fā)展出現(xiàn)代意義上的證明概念：這是因為幾何證明主要是基于它們的“內(nèi)容”。這種證明的有效性取決于它們是否符合所研究的幾何對象的已知性質(zhì)。隨著笛卡爾幾何學(xué)的代數(shù)化，證明轉(zhuǎn)化為形式的途徑得以開辟。

分析

當(dāng)一個陳述是謂項、等同于主項的項，或陳述中的謂項包含于主項中時，它被稱為分析性陳述。例如，假如我們說“所有的人都是活著的”，對于萊布尼茨而言，我們的意思是“活著”的概念包含在“人”的概念之內(nèi)，所以這個陳述是分析性的。根據(jù)萊布尼茨的觀點，所有的數(shù)學(xué)真理都是分析性的。

伊曼努爾·康德。? Biography.com

眾所周知，伊曼努爾·康德通過努力改造萊布尼茨的實在概念，引入了分析-綜合區(qū)別?？档抡J(rèn)為，分析先驗知識是只能通過邏輯獲得的信息。綜合先驗知識是利用時間和空間直覺所獲得的信息。康德認(rèn)為，算術(shù)學(xué)中的數(shù)線和幾何學(xué)中的直線都是基于直覺的綜合先驗知識。

這里，我們想強(qiáng)調(diào)的是，萊布尼茨對分析和公義的理解塑造了弗雷格和羅素等邏輯學(xué)家的基本主張，他們在20世紀(jì)早期試圖將所有的數(shù)學(xué)陳述歸結(jié)為邏輯。此外，萊布尼茨的“公理可以被證明”的觀點很可能也影響了邏輯學(xué)家。不僅如此，萊布尼茨本人也試圖對某一數(shù)學(xué)證明中所用的原理給出有力的證明。

萊布尼茨的證明概念和分析概念是相輔相成的，因為在證明過程中，從任何一個陳述中推導(dǎo)出其他陳述，都符合分析的概念。

神圣的數(shù)學(xué)

到目前為止，我們已經(jīng)接觸了萊布尼茨關(guān)于數(shù)學(xué)的一些觀點。

布雷格如是引用道，對于萊布尼茨來說，數(shù)學(xué)和神學(xué)就像是“通向上帝的階梯”。要想理解萊布尼茨，就要對他眼中數(shù)學(xué)、神學(xué)和形而上學(xué)之間的關(guān)系一一進(jìn)行討論解決。這樣一個復(fù)雜的問題無法在這篇短文中盡數(shù)闡明；因此，我將僅僅提及其中幾個問題，給讀者一個大致印象。

萊布尼茨希望他的數(shù)學(xué)成就能引起人們對他的哲學(xué)和神學(xué)思想的注意；畢竟，數(shù)學(xué)成就是一個人意志堅韌的標(biāo)志。萊布尼茨的這種個人層面的“機(jī)會主義”反映了他所處時代社會層面的另一種機(jī)會主義。眾所周知，去往中國的基督教傳教士利用歐洲的數(shù)學(xué)成就來給中國人留下深刻的印象，然后使他們信仰基督教。萊布尼茨會毫不猶豫地贊同這一做法。

事實上，對于萊布尼茨而言，通用表意文字方法是向那些不信仰上帝的人展示真相的最可靠的方法，因為它可以像一架天平一樣測量和顯示一切事物的準(zhǔn)確值。換句話說，傳教士們用這種計算方法向非基督徒展示真理，這將足以引導(dǎo)他們走向基督教！

萊布尼茨使用數(shù)字作為通用表意文字有其形而上學(xué)的基礎(chǔ)所在。萊布尼茨論述了“上帝依據(jù)一定的尺度、數(shù)目和衡量創(chuàng)造萬物”的信仰，這也是柏拉圖的觀點。萊布尼茨認(rèn)為：有些物體沒有重量，所以它們的重量無法計算；有些物體沒有維度，所以它們的長度無法測量，但任何東西都可以數(shù)出數(shù)目?？傊?，數(shù)字是一切事物的本質(zhì)。

根據(jù)萊布尼茨的說法，上帝是一位完美的數(shù)學(xué)家。創(chuàng)造的行為與“神圣的數(shù)學(xué)”一同發(fā)生。萊布尼茨在他的著名文章《論事物的終極起源》中說，萬物的起源是一種“形而上學(xué)的機(jī)制”或“神圣的數(shù)學(xué)”。世界上的一切都是按照一定的尺度和規(guī)律存在的，這些規(guī)律不僅是“幾何”的，而且是“形而上學(xué)的”。

對于萊布尼茨來說，一個自由意志的世界，即使其中存在著殘忍和邪惡，也比一個沒有殘忍、邪惡和自由意志的世界要好，他在《神義論》和許多其他著作中都提到過這點。這就是對上帝何以創(chuàng)造一個存在邪惡之世界的解釋。在所有可能的世界中，為什么上帝以這種方式創(chuàng)造了這個世界，而不是另一個世界？

對萊布尼茨而言，這就是一個完美的世界！也就是說，作為一個完美的數(shù)學(xué)家，上帝計算了所有可能的世界，并創(chuàng)造了其中最好的那個。要證明這是所有可能中最好的世界，一個例子是，獅子是危險的動物，但是如果沒有它們，這個世界將不那么完美。

此外，我們對這個世界的福祉的評估僅限于我們迄今為止所知曉的和經(jīng)歷過的事件。然而，上帝在選擇這個最完美的世界時，考慮了全部的時間和所有的造物。萊布尼茨在這方面給出的另一個例子是，一個出生在監(jiān)獄里的人不能僅僅通過環(huán)顧四周就斷定整個世界都是壞的。畢竟，對于萊布尼茨來說，個體只能看到某一部分，而上帝在考慮過一切后才做決定。

不了了之

萊布尼茨那迷人的通用表意文字計劃從未付諸實施。大衛(wèi)·希爾伯特為萊布尼茨的思想辯護(hù)，認(rèn)為這一思想的數(shù)學(xué)形式是可行的，并據(jù)此提出了一個計劃。欽佩萊布尼茨的哥德爾證明了不完備定理，并指出像通用表意文字這樣的計劃注定要失敗，這種失敗不僅是哲學(xué)層面的，甚至也是數(shù)學(xué)層面的。

萊布尼茨那部分基于數(shù)學(xué)的形而上學(xué)和神學(xué)帶來了嚴(yán)重的問題。從某種意義上說，萊布尼茨把一切都簡化成了計算。例如，他把上帝比作了解決數(shù)學(xué)問題的計算器。這看起來似乎自相矛盾，但是很明顯，這樣的上帝在沒有數(shù)學(xué)解決方案的事情上沒有發(fā)言權(quán)。萊布尼茨說，在某些地方，即使是上帝也不能做永恒的運算。當(dāng)萊布尼茨把上帝塑造成一個數(shù)學(xué)家時，他很清楚，即使是上帝也做不到數(shù)學(xué)家能做到的事。比如說，上帝不能做無限的運算，但他可以看到結(jié)果。此外，萊布尼茨認(rèn)為，不可能存在一個以上采取絕對數(shù)學(xué)準(zhǔn)確值的、自洽的數(shù)學(xué)體系。

從這里生發(fā)出了一個萊布尼茨并不感興趣的問題：上帝使用的是哪種數(shù)學(xué)？

從我們到目前為止所寫的來看，數(shù)學(xué)在萊布尼茨的一切思想中都占有重要的地位。在他看來，數(shù)學(xué)家必須是哲學(xué)家，正如哲學(xué)家應(yīng)當(dāng)是數(shù)學(xué)家一樣。萊布尼茨在與洛必達(dá)的通信中寫道，他的形而上學(xué)是數(shù)學(xué)的，可以用數(shù)學(xué)的形式書寫。不僅如此，按照萊布尼茨的看法，數(shù)學(xué)非常接近于邏輯，即創(chuàng)造新發(fā)明的藝術(shù)，而形而上學(xué)與邏輯沒有什么不同。

“我起初是個哲學(xué)家，最后卻成了神學(xué)家?！比R布尼茨說。如今，如果有人想理解萊布尼茨的哲學(xué)，他們?nèi)匀粫龅揭粋€主要的問題：萊布尼茨著作中數(shù)學(xué)與哲學(xué)、形而上學(xué)及神學(xué)之間的關(guān)系。

文/Waldo Otis

譯/苦山

校對/凌波微步的兔子

原文/medium.com/however-mathematics/leibniz-and-his-approach-to-god-3246f81da650

文章僅為作者觀點，未必代表利維坦立場