【時間變更通知:本周共形幾何計算課程變更為周六(2019年6月15日)，上午9:00-下午12: 00，清華大學(xué)春園西樓三樓報告廳附近。請訪問我們尋求指導(dǎo)?！?/p>

數(shù)學(xué)方面，黎曼曲面理論精雕細琢，精致優(yōu)雅，你會從各方面獲益。一方面黎曼曲面理論比較初等，可以從復(fù)變函數(shù)理論中學(xué)習(xí)和掌握；另一方面，黎曼初等理論可以用現(xiàn)代的觀點重新審視和組織，讓初學(xué)者進入房間，欣賞現(xiàn)代數(shù)學(xué)的抽象概念。同時，黎曼曲面理論中很多基本的數(shù)學(xué)分支都是完美而自然地整合在一起的:例如:同調(diào)群、重疊空空間、代數(shù)拓撲中的纖維束；微分幾何中的聯(lián)系、曲率、老化、瑞奇流；橢圓方程、熱核和偏微分方程中的指數(shù)定理；領(lǐng)域擴展理論，代數(shù)中的代數(shù)變種和理想理論，等等。

但由于人為的學(xué)科劃分和專業(yè)壁壘，工科背景的學(xué)生學(xué)習(xí)抽象的黎曼曲面理論還是比較困難。如何將保角幾何的精髓融入計算機科學(xué)的知識結(jié)構(gòu)，一直是老古思考的問題。據(jù)老顧觀察，理論物理專業(yè)的學(xué)生比純數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生掌握黎曼幾何和纖維束理論更快。根本原因在于物理的幾何發(fā)展，使得物理專業(yè)的學(xué)生頭腦中儲備了大量的例題，可以隨時與抽象的幾何概念相互驗證。例如，光纖束上的連接是一個模糊和抽象的概念。如果掌握了規(guī)范場的物理直覺，對聯(lián)系的理解就簡單了。

謝天謝地，黎曼曲面理論中的重要概念和定理日益變得可計算，保形幾何的各種算法不斷被發(fā)明，使得抽象概念的可視化程度不斷提高，在工程實踐中逐漸普及，很多工程應(yīng)用觸手可及，直觀而頻繁，使得保形幾何的學(xué)習(xí)變得困難。

老顧和很多同學(xué)談得很深入。他們都經(jīng)歷了漫長的心路歷程，奮斗了幾年才逐漸認識到內(nèi)化共形幾何的語言體系和理論框架。在大家的學(xué)習(xí)過程中，真正的轉(zhuǎn)折點發(fā)生在實施動手編程計算一個保角幾何算法的那一刻；或者當(dāng)你在研究中遇到問題，確實需要拓寬思路的時候?？梢钥闯?，加快和加深學(xué)習(xí)效果的唯一途徑就是手工實現(xiàn)算法，增加經(jīng)驗，學(xué)以致用。

圖1?；诠残螏缀蔚木W(wǎng)格生成。

有限元網(wǎng)格生成

從工程的角度來說，現(xiàn)實生活中的所有曲面都是黎曼曲面，很多工程問題的本質(zhì)最終歸結(jié)為共形幾何。作為自然界的一部分，隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人類認識的深入，共形結(jié)構(gòu)將在工程和醫(yī)學(xué)實踐中發(fā)揮越來越重要的作用。例如，在計算力學(xué)領(lǐng)域，有限元計算依賴于高質(zhì)量的網(wǎng)格，因此網(wǎng)格生成至關(guān)重要。如何對一個曲面進行三角剖分，使每個三角形都接近等邊三角形，一直是這個領(lǐng)域的一個基本問題。根據(jù)保角幾何的均勻化定理，物理世界中的所有曲面都可以用保角映射映射到平面區(qū)域。如果我們在平面上生成高質(zhì)量的網(wǎng)格，并通過保角變換將其拉回曲面，我們將生成高質(zhì)量的曲面三角剖分。

圖2。曲率測度收斂的離散曲面序列。

平面網(wǎng)格生成的算法很多，可以保證網(wǎng)格質(zhì)量，如Chow算法、CVT(質(zhì)心Voronoi鑲嵌)算法等。因此，基于共形幾何，可以生成高質(zhì)量的三角形網(wǎng)格，從而保證有限元計算的準確性和穩(wěn)定性。通過更詳細的分析，我們可以利用離散法叢理論，證明由此得到的離散曲面的測地線、高斯曲率測度、平均曲率測度和拉普拉斯算子根據(jù)三角剖分的細化收斂到光滑曲面的相應(yīng)幾何量。

圖3。復(fù)雜拓撲曲面的保角映射。

目前，可以計算任意拓撲結(jié)構(gòu)的緊致度量曲面的保角映射。其中一種算法是基于黎曼曲面的亞純微分。黎曼-羅奇定理保證了黎曼平面上給定極點和零點的亞純微分的存在性。在本課程中，我們將使用初等方法證明經(jīng)典的黎曼-羅奇定理。這個原理雖然抽象而深刻，但其內(nèi)在本質(zhì)是簡單的線性代數(shù)。亞純函數(shù)空和亞純微分空都是線性空。我們先找到它們各自空的依據(jù)，然后考察線性組合系數(shù)需要滿足的條件，從而得到空之間的維數(shù)。

黎曼-羅奇定理

黎曼曲面上有豐富的亞純函數(shù)，這些亞純函數(shù)通過加、減、乘、除封閉，從而形成一個定義域。如果兩個黎曼曲面共形且彼此等價，則當(dāng)且僅當(dāng)它們的亞純函數(shù)域同構(gòu)時，存在共形微分同胚。由此，我們可以看到保角幾何與代數(shù)之間的直接而深刻的聯(lián)系。在緊黎曼曲面上，如果兩個亞純函數(shù)具有相同的零點和極點，并且對應(yīng)的零點和極點的度數(shù)相同，那么這兩個亞純函數(shù)的商是常數(shù)。因此，亞純函數(shù)的極點和零點幾乎包含了函數(shù)的所有信息。

假設(shè)它是亞純函數(shù)。在任意點的局部參數(shù)域中，其Laurent展開式為

,

如果是，那就是秩序的極點；如果是，那就是零階點。我們記得的任務(wù)是

。

亞純函數(shù)的除數(shù)是

,

這是函數(shù)在p點的賦值:在正常點，賦值為0，在奇點，賦值的次數(shù)為零極點。給定一個除法器，這里是一個整數(shù)，亞純函數(shù)空由所有亞純函數(shù)組成:

,

這意味著亞純函數(shù)的極點位置和度數(shù)受因素的限制?？梢娍帐怯邢蘧S線性空。我們同樣定義亞純微分空:

,

也在有限維線性空之間。黎曼-羅奇定理給出了這兩個線性的維數(shù)之間的方程空:

定理(黎曼-羅奇)在具有虧格的緊致黎曼平面上，給定除數(shù)，亞純函數(shù)空與亞純微分空之間的維數(shù)由其確定滿足方程:

。

黎曼-羅奇定理是黎曼曲面理論的核心，大量的存在證明都依賴于這個定理?？梢钥醋魇侵笜硕ɡ淼囊粋€簡單情況:黎曼流形上橢圓型偏微分方程的解空之間的維數(shù)由流形的拓撲決定。

阿貝爾微分

給定拉伸黎曼曲面的虧格，我們選擇一組正則基本群基，

代數(shù)交數(shù)滿足條件:

。

沿著基本群的基切割曲面，得到一個邊界為的基本域

圖1。典范基本群的基。

全純微分的實部和虛部是實調(diào)和微分，虛部和實部是共軛的。根據(jù)Hodge定理，黎曼流形上的每一個上同調(diào)類都有唯一的調(diào)和微分形式，所以全純微分構(gòu)成的群都同構(gòu)于上同調(diào)群，復(fù)維數(shù)等于虧格。我們?nèi)【€性空之間的一組基，由全純微分構(gòu)成，基群的基是對偶的。

。

黎曼曲面上的亞純微分具有局部表示

其中是全純函數(shù)，前半部分是主奇異部分，稱為極點處的殘數(shù)。所有極點的殘差之和為零。基本群體基礎(chǔ)上的整合

分別稱為A期和B期。我們可以標準化如下:

A-周期為零，稱為歸一化亞純微分。

黎曼平面上的亞純微分在傳統(tǒng)上也稱為阿貝爾微分。為了研究方面，我們把阿貝爾微分分為三類:

第一類阿貝爾微分是全純微分，可以表示為線性組合.第二類阿貝爾微分所有極點處的留數(shù)都是零，一般形式為：第三類阿貝爾微分存在非零留數(shù)的極點。

第一類阿貝爾微分和第二類阿貝爾微分之間存在如下雙線性關(guān)系:假設(shè)第一類阿貝爾微分有周期；設(shè)它為第二類阿貝爾微分，有周期且只有極點。在極點的局部參數(shù)域中，主要奇異部分是

的存在性可以通過霍奇定理得到。假設(shè)的局部表示是

,

那么我們有以下雙線性關(guān)系:

。

如果是正規(guī)亞純微分，則為零。取典型基數(shù)，不妨設(shè)定

有

。

黎曼-羅奇定理的證明

情況1:如果亞純函數(shù)，那么；如果是亞純微分，那就是全純微分，所以。因此，黎曼-羅奇公式成立。

情況二:除數(shù)，也就是系數(shù)。如果亞純函數(shù)，極點在的階不大于。調(diào)查當(dāng)?shù)芈謇试诟浇臄U張，有

,

秩序，是有的。由此，我們得到線性映射:

。

這個線性映射的核是一個常數(shù)函數(shù)，表示為空。

讓我們在圖像之間構(gòu)建一組基底空。對于所有極點，所有階，存在第二類歸一化亞純微分，只考慮為N階極點，附近的主奇異部分為。的a周期為零。一共有個亞純微分。所以

,

這里是全純微分。因為的A-周期為零，所以的A-周期為零，所以的A-周期為零，所以為零。由于的B周期為零，我們得到一個線性方程組:

假設(shè)系數(shù)矩陣的秩為，

我們有:。進一步

假設(shè)全純微分基底為，則在處的Laurent展開為

,。

如果，那么它是全純微分，

。

設(shè)它為零，它的階為0，由此得到線性方程

,

設(shè)系數(shù)矩陣的秩為

,

那么解空之間的維數(shù)就是，這樣。

從雙線性關(guān)系

,

我們得到兩個系數(shù)矩陣具有相同的秩。因此

一般情況:如果我們選一個亞純微分，就有一個。黎曼-羅奇公式可以改寫為對稱形式:

。

如果任一個都等價于整數(shù)除數(shù)(即差為一個主除數(shù))，那么黎曼-羅奇公式成立。

如果和不等于整數(shù)除法器，我們可以證明下列條件成立

,,,

所以黎曼-羅奇公式成立。

1)假設(shè)亞純函數(shù)存在，那么。順序，那么就是整數(shù)除法器，和是等價矛盾的。

2)、證明同1)。

3)假設(shè)、、、然后由黎曼-羅奇

所以我們有

。

那么，假設(shè)有一個線性獨立的亞純函數(shù)。設(shè)，構(gòu)造亞純函數(shù)，并滿足()上至少有零點。這里我們有一個未知數(shù)和一個方程，所以解存在且滿足，即與1矛盾)。如果假設(shè)是錯的，我們應(yīng)該有。同理。因此，3)成立。

到目前為止，我們已經(jīng)完全證明了黎曼-羅奇定理。

總結(jié)

黎曼-羅奇定理是黎曼曲面理論的中心定理，它給出了滿足特定條件的亞純函數(shù)和亞純微分的存在性。亞純微分是計算保角映射的關(guān)鍵。雖然理論完善清晰，但一般亞純微分的計算方法還沒有得到認真研究。這個問題非常重要，將對工程醫(yī)學(xué)領(lǐng)域產(chǎn)生深遠的影響。我們期待年輕學(xué)者關(guān)注這個問題，并盡快克服它。