完全數(shù)，又稱完全數(shù)或完全數(shù)，是一種非常特殊的自然數(shù)，也就是說它是完美的。

定義為:所有真因子之和恰好等于其自身數(shù)。

比如6的真因子是1，2，3；而1+2+3=6，所以6是完美的。

畢達哥拉斯在公元前6世紀開始研究完全數(shù)。當時只找到了6和28個完全數(shù)。上帝創(chuàng)造世界只用了6天，月亮繞地球一周用了28天。

在歷史文化中，這兩個數(shù)字經(jīng)常出現(xiàn)。比如中國古代有六谷，秦始皇以六為國號，天上有二十八顆星。

公元前4世紀，歐幾里德在《幾何元素》第9章中演示了一個求完全數(shù)的公式。

如果p是素數(shù)，2 p-1也是素數(shù)，那么 x2 就是完全數(shù)。這種方法給出了完全數(shù)的充分條件和不必要條件。

那么對完全數(shù)的搜索就變成了對2 p-1是素數(shù)的搜索，例如:

當p=2時，6是完美的。

當p=3時，28是完美的。

當p=5時，496是完美的。

當p=7時，8128是完美的。

……

然而，第五個完全數(shù)變得很難找到，直到一千年后的15世紀才被一個匿名的人發(fā)現(xiàn)。是33550336，p=13。

17世紀，數(shù)學家梅森在前人的基礎上對2 p-1做了大量的研究，斷言當p=2，3，5，7，13，17，19，31，67，127，257時2 p-1是素數(shù)，但后人在p=67，257時發(fā)現(xiàn)了它。

但梅森數(shù)增長非常快，極難找到下面的梅森素數(shù)。值得一提的是，1772年，偉大的瑞士數(shù)學家歐拉雙目失明，僅通過心算就驗證了M31是素數(shù)。

目前最大的梅森素數(shù)是2016年美國數(shù)學家利用計算機發(fā)現(xiàn)的第49個梅森素數(shù)，其中p=74207281。如果把十進制M74207281寫在書上，可以填幾十本書。

到目前為止，梅森素數(shù)中是否有無窮多個是未知的，所以完全數(shù)中是否有無窮多個也是未知的，偶數(shù)中是否有奇數(shù)個完全數(shù)也是一個謎。

尋找梅森素數(shù)是有意義的。因為分解一個數(shù)是極其困難的，但是把兩個素數(shù)相乘是非常容易的，我們的加密算法中選擇的素數(shù)越大，被破譯的概率就越低，而梅森素數(shù)提供了一種簡單的尋找大素數(shù)的方法。

此外，完全數(shù)還有幾個有趣的性質:

目前發(fā)現(xiàn)的所有完美數(shù)字都以6或28結尾。

到目前為止發(fā)現(xiàn)的完全數(shù)都是偶數(shù)，而且都可以由梅森素數(shù)轉化而來。

完全數(shù)是三角數(shù)。

完全數(shù)的所有倒數(shù)都是調和數(shù)。

完全數(shù)可以表示為連續(xù)奇數(shù)立方數(shù)之和。

完全數(shù)的位數(shù)都是1。

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