初中數(shù)學(xué)平行四邊形性質(zhì)知識點綜述(一)

知識點總結(jié)

1.定義:兩組對邊平行的四邊形稱為平行四邊形

2.平行四邊形的性質(zhì)

知識點總結(jié)

1.特殊平行四邊形

1.矩形:

(1)定義:直角平行四邊形。

(2)性質(zhì):矩形的四個角是直角；矩形的對角線等分。

(3)判斷定理:

(1)具有直角的平行四邊形稱為矩形。②等對角線的平行四邊形是矩形。③三個直角的四邊形是矩形。

直角三角形的性質(zhì):直角三角形的右邊等于斜邊的一半。

2.鉆石:

(1)定義:相鄰邊相等的平行四邊形。

(2)自然:鉆石的四面都是平等的；鉆石的兩條對角線互相垂直，每條對角線平分一組對角。

(3)判斷定理:

(1)一組相鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

②對角線互相垂直的平行四邊形為菱形。

③四條等邊的四邊形是菱形。

(4)面積:

3.正方形:

(1)定義:直角菱形或相鄰邊相等的矩形。

(2)性質(zhì):四邊均相等，四角均為直角，對角線垂直等分。正方形既是長方形又是菱形。

(3)平方判斷定理:

(1)對角線相互垂直，等四邊形為正方形；

(2)一組相鄰邊相等且成直角的平行四邊形是正方形；

(3)對角線互相垂直的矩形為正方形；

④相鄰邊相等的矩形為正方形

⑤直角的鉆石是正方形；

⑥對角線相等的菱形是正方形。

二、矩形、菱形、正方形和平行四邊形、四邊形的關(guān)系:

1.矩形、菱形和正方形是特殊的平行四邊形，它們的性質(zhì)都是在平行四邊形的基礎(chǔ)上擴(kuò)展的。矩形是在平行四邊形上加上“一個角是90度”得到的，在角度和對角線上比平行四邊形更有特點；菱形是通過給平行四邊形加上“一組相鄰邊相等”的條件得到的，在邊和對角線上比平行四邊形有更多的特征；平方是對平行四邊形加上“一組相鄰邊相等”和“夾角為90度”兩個條件得到的。它在邊、角、對角線上比平行四邊形更有特點。

2.長方形和菱形的判斷可以根據(jù)起點不同分為兩類:一類是基于四邊形，一類是基于平行四邊形。除了以上兩個起點，正方形也可以從長方形和菱形來判斷。

3、判斷四邊形是特殊四邊形:

常用測試方法

(1)利用菱形、矩形和正方形的性質(zhì)計算邊緣、角度和面積；

(2)靈活運(yùn)用判斷定理證明四邊形(或平行四邊形)是菱形、矩形或正方形；

(3)一些折疊問題；

(4)矩形與直角三角形、等腰三角形關(guān)系密切，正方形也與等腰直角三角形關(guān)系密切。所以很多考題都可以在這個背景下設(shè)置。

誤解提醒

(1)平行四邊形的性質(zhì)都是矩形、菱形、正方形，但矩形、菱形、正方形的性質(zhì)不一定是平行四邊形，容易混淆；

(2)長方形和菱形有正方形的屬性，正方形不一定有菱形不一定有的屬性，也容易混淆。

(3)無法正確理解和使用判斷定理進(jìn)行證明(例如證明一個菱形時，被誤解為四條等邊四邊形是菱形，兩組等鄰邊四邊形是菱形)；(3)用對角線長度求鉆石面積時，忘了乘法；(3)判定一個四邊形為特殊平行四邊形的條件不充分。

[典型例子](天門，錢江，仙桃，2010)在正方形ABCD中，點o是對角線DB的中點，點p是DB所在直線上的移動點，PE⊥BC在e，PF⊥DC在f .

(1)當(dāng)p點與o點重合時(如圖①)，猜測AP和EF的個數(shù)和位置關(guān)系，證明你的結(jié)論；

(2)當(dāng)點p在線段DB上(與點d、o、b不重合)(如圖②所示)時，(1)中的結(jié)論是否成立？如果是真的，寫出證明過程；如果沒有，請說明原因；

(3)當(dāng)P點在DB的長延長線上時，請完成圖③，判斷(1)中的結(jié)論是否有效。如果是真的，直接寫結(jié)論；如果沒有，請寫出相應(yīng)的結(jié)論。

[解析] (1)AP=EF，AP⊥EF原因如下:

交流連接時，交流必須通過點O，將FO延伸至AB至m；

∵OF⊥CD、OE⊥BC和四邊形ABCD是正方形。

∴四邊形OECF是正方形，

∴OM=OF=OE=AM，

∫≈MAO =≈OFE = 45≈AMO =≈EOF = 90，

∴△AMO≌△FOE，

∴AO=EF，而≈aom =≈ofe =≈foc = 45，也就是OC⊥EF，

因此，AP=EF和AP⊥EF.

(2)問題(1)中的結(jié)論仍然有效，原因如下:

N中擴(kuò)展AP到BC，M中擴(kuò)展FP到AB；

pe⊥bc ∵pm⊥ab，MBE = 90，ebp = 45。

∴四邊形MBEP是一個正方形，

∴mp=pe,∠amp=∠fpe=90；

并且∵AB-BM=AM，BC-BE=EC=PF，AB=BC，BM=BE，

∴AM=PF，

∴△AMP≌△FPE，

∴AP=EF,∠APM=∠FPN=∠PEF

∫≈PEF+≈PFE = 90≈FPN =≈PEF，

∴≈fpn+≈pfe = 90，也就是AP⊥EF，

因此，AP=EF和AP =⊥ef。

(3)問題(1)和(2)的結(jié)論仍然有效；

如右圖所示，將AB擴(kuò)展到PF與(2)完全相同