數(shù)字來(lái)自對(duì)數(shù)量本質(zhì)的抽象，數(shù)量的本質(zhì)是多是少。

因此，數(shù)字就是那些能夠由小到大進(jìn)行排列的符號(hào)。這個(gè)抽象過(guò)程經(jīng)歷了計(jì)數(shù)和符號(hào)兩個(gè)階段。能夠形成十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)是人類的重大進(jìn)步，其核心是十個(gè)符號(hào)加上位數(shù)準(zhǔn)則。

為了討論數(shù)的表示，就必須先討論數(shù)量的本質(zhì)，因?yàn)閿?shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，而抽象的核心工作是對(duì)本質(zhì)的提煉和刻畫(huà)。

一．?dāng)?shù)量的本質(zhì)

我想，數(shù)量的本質(zhì)應(yīng)當(dāng)是多與少，因?yàn)閯?dòng)物也能夠分辨出多與少：一只狗對(duì)一只狼與一群狼的反應(yīng)是不一樣的。一本名為“數(shù)：科學(xué)的語(yǔ)言”的書(shū)中描述了一個(gè)故事，這個(gè)故事表明動(dòng)物對(duì)于數(shù)量的多少具有相當(dāng)強(qiáng)的分辨能力。

“在歐洲某地莊園的望樓上有一個(gè)烏鴉巢，里面住著一只烏鴉。主人打算殺死這只烏鴉，可是幾次都沒(méi)有成功，因?yàn)樗蛔哌M(jìn)這個(gè)望樓烏鴉就飛走，棲在遠(yuǎn)遠(yuǎn)的樹(shù)上，直到他離開(kāi)望樓才飛回來(lái)。后來(lái)他想了一個(gè)聰明的辦法：兩個(gè)人一起走進(jìn)望樓，一個(gè)人出來(lái)，一個(gè)人留在里面。可是烏鴉不上當(dāng)，直到第二人離開(kāi)望樓才飛回來(lái)。主人不死心，連續(xù)試驗(yàn)了幾天：三個(gè)人，四個(gè)人都沒(méi)有成功。最后用了五個(gè)人，四個(gè)人走出來(lái)，一個(gè)人留在里面，現(xiàn)在烏鴉分辨不清了，飛了回來(lái)?！?/p>

對(duì)于數(shù)量多少的感知，人應(yīng)當(dāng)強(qiáng)于烏鴉，不論烏鴉有多么聰明（據(jù)心理學(xué)的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，如果不計(jì)數(shù)，人對(duì)多少的分辨也是在5左右）。由此可以推斷，人類對(duì)于數(shù)量的感知可能比語(yǔ)言的形成還要早，但是，人類能夠從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念卻是非常不容易的。一些書(shū)中對(duì)此都有記載，比如《天空中的圓周率》中提到，至今為止，一些原始部落依然沒(méi)有系統(tǒng)的數(shù)字概念，那里的人們只能區(qū)分一，二和許多。究其原因，就是沒(méi)有創(chuàng)造出計(jì)數(shù)系統(tǒng)。

二．十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)的抽象過(guò)程分析

從人類的發(fā)展歷程來(lái)分析，十進(jìn)制計(jì)數(shù)系統(tǒng)的抽象過(guò)程，經(jīng)歷了計(jì)數(shù)，符號(hào)兩個(gè)層次的抽象。

第一步抽象：計(jì)數(shù)

大數(shù)學(xué)的文明很早就會(huì)計(jì)數(shù)了，但是，數(shù)字符號(hào)的發(fā)明可能要比文字符號(hào)的發(fā)明更晚一些。

有些人可能不同意這個(gè)意見(jiàn)，因?yàn)榭梢栽诩坠俏闹邪l(fā)現(xiàn)許多數(shù)字。我想說(shuō)的是，那些不是數(shù)字符號(hào)，也就是說(shuō)，那些并不意味著已經(jīng)把關(guān)于數(shù)量的感知抽象到數(shù)字符號(hào)。仔細(xì)看一下甲骨文就會(huì)發(fā)現(xiàn)，所以數(shù)字的背后都有著具體的背景：或者是田畝，或者是牛羊，這說(shuō)明那些是關(guān)于與數(shù)量有關(guān)的事件的文字記載，或者說(shuō)，是一種語(yǔ)言符號(hào)。在現(xiàn)代漢語(yǔ)中，有一些關(guān)于數(shù)量極其后綴名詞的形式已經(jīng)被根深蒂固地保留下來(lái)了，比如，一粒米，一條魚(yú)，一只雞，一個(gè)蛋，一匹馬，一頭牛，一支筆，一頂帽子，一件衣服，一條褲子等等。其中的“一”

并不是數(shù)字符號(hào)，我們只能把這些理解為與數(shù)量有關(guān)的事件的記載。一粒米與一頭牛是不可同日而語(yǔ)的，雖然都是數(shù)量“一”的具體例子。這里需要一個(gè)更為深刻的抽象，或者說(shuō)是關(guān)于數(shù)量的第二步抽象。

第二步抽象：符號(hào)

符號(hào)的表達(dá)必須擺脫具體內(nèi)容，否則這種表達(dá)將不具有一般性，在這種表述基礎(chǔ)上的計(jì)算和推理也將不具有普適性。因此，數(shù)字符號(hào)后面不能綴有名數(shù)，需要完全脫離具體的背景，否則，不可能一般地建立起關(guān)于“多少”的概念。2比1多，可是很難想象兩粒米要比一頭牛多。另一方面，從“多少”這一基本概念出發(fā)，可以自然而然地推導(dǎo)出這樣一個(gè)事實(shí)：在一些東西上再加一些東西要比原來(lái)的“多”，如果數(shù)字符號(hào)后面綴有名數(shù)，則很難表現(xiàn)出這一事實(shí)。一粒米加上一頭牛是什么呢？因此，數(shù)字符號(hào)只能是一些表示數(shù)量多少的符號(hào)，除了多少以外沒(méi)有任何具體的含義，而每一個(gè)具體的事件都是這種表示的特例。

把那些所有表示數(shù)量的符號(hào)放在一起，則得到了一個(gè)集合，我們稱這個(gè)集合為“數(shù)集”。從上面的推斷可以知道，這個(gè)數(shù)集中的符號(hào)之間至少要滿足一種關(guān)系，那便是“多少”，或者稱之為“大小”。為了做到這一點(diǎn)，就必須在這個(gè)數(shù)集中定義一個(gè)“序”的關(guān)系，我們可以稱之為“大于”。那么，數(shù)集中的任何兩個(gè)符號(hào)之間都必須滿足這種序關(guān)系。比如a和b是數(shù)集中的兩個(gè)符號(hào)，則不是a大于b就是b大于a；如果a大于b同時(shí)b也大于a，則表示同一個(gè)符號(hào)，即a和b相等。顯然，十進(jìn)制的數(shù)字的集合滿足這種序關(guān)系。容易驗(yàn)證，二進(jìn)制的數(shù)字的集合也滿足這種序關(guān)系。這樣，我們便完成了對(duì)于數(shù)字符號(hào)的抽象：數(shù)字是那些能夠由小到大進(jìn)行排列的符號(hào)。

關(guān)鍵點(diǎn)一：進(jìn)位

因?yàn)閿?shù)量可以無(wú)限制的多，于是數(shù)字符號(hào)也應(yīng)當(dāng)是無(wú)窮無(wú)盡的，我們將遇到一個(gè)天大的難題：必須用無(wú)窮多個(gè)符號(hào)來(lái)表示所有的數(shù)字。聰明的人類發(fā)明了進(jìn)位，有些符號(hào)可以重復(fù)使用了。如果計(jì)數(shù)規(guī)則是十進(jìn)制，那么，除了一到九的符號(hào)外，再創(chuàng)造出十進(jìn)位基數(shù)的符號(hào)：在中國(guó)是十，百，千；在古羅馬相應(yīng)的是X,C,M等等。請(qǐng)注意到，在這個(gè)符號(hào)系統(tǒng)中，五十并不是指50，而是指五個(gè)十；三萬(wàn)也不是指30000，而是指三個(gè)一萬(wàn)。因此，這是一個(gè)由語(yǔ)言符號(hào)系統(tǒng)向完全數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)的過(guò)渡的符號(hào)系統(tǒng)，可以稱為準(zhǔn)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)。這個(gè)準(zhǔn)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)能夠相當(dāng)廣泛地適用于人類的日常生活，因此被沿用至今。但是這個(gè)準(zhǔn)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)有兩個(gè)致命的弱點(diǎn)：一是不利于運(yùn)算；二是不完備。

不利于運(yùn)算是很好理解的，可以翻看一下中國(guó)宋代的數(shù)學(xué)名著《數(shù)書(shū)九章》，其中關(guān)于剩余定理，關(guān)于高次方程的求解方法是當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)的頂峰，但是其邏輯推理過(guò)程和計(jì)算方法的記載實(shí)在是繁雜，使人望而生畏。在歐洲也是這樣，在歐洲的許多古老城市都矗立著紀(jì)念碑，上面雕刻的時(shí)間大多用的是古羅馬數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)，也是相當(dāng)?shù)姆彪s。當(dāng)然，如果我們是從美學(xué)的角度考慮，那就另當(dāng)別論了。

所謂不完備，是準(zhǔn)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)在原則上依然需要?jiǎng)?chuàng)造無(wú)窮多個(gè)不同的符號(hào)。在漢字系統(tǒng)中，表示數(shù)字符號(hào)最大的基數(shù)是“兆”，這是10的12次方，這確實(shí)是很大的數(shù)了，但是對(duì)于一個(gè)與信息有關(guān)的符號(hào)系統(tǒng)來(lái)說(shuō)這卻是遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠的，今天我們隨處可見(jiàn)的PC計(jì)算機(jī)，每分鐘要處理的信息量就要大大超過(guò)這個(gè)基數(shù)。那么，如何來(lái)改善這個(gè)準(zhǔn)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)呢？

關(guān)鍵點(diǎn)二：位數(shù)

現(xiàn)在只需要再進(jìn)行一個(gè)小小的創(chuàng)造，但是為了這個(gè)小小的創(chuàng)造，人類用了幾個(gè)世紀(jì)。這個(gè)創(chuàng)造就是位數(shù)準(zhǔn)則：數(shù)字符號(hào)在不同的“位”表示基數(shù)不同的量?？梢曰叵胛覀兊淖嫦劝l(fā)明的算盤(pán)，在算盤(pán)中，同樣多的珠在不同的位置表示的量是不同的：兩個(gè)珠在個(gè)位表示二，在十位表示二十。多么巧妙地設(shè)計(jì)！可是，如何通過(guò)數(shù)字符號(hào)來(lái)表達(dá)這個(gè)功能呢？可以看到，這就像算盤(pán)中地空檔一樣，只需要再發(fā)明一個(gè)符號(hào)：零。

“零”是印度人發(fā)明地，用sunya表示，原意是“空”。當(dāng)今很有影響地印度哲學(xué)家?jiàn)W修再分析自己地民族時(shí)說(shuō)，印度是一個(gè)內(nèi)向型的國(guó)家，因此在印度能夠產(chǎn)生禪宗，印度的精神能夠創(chuàng)造出有生命力的種子，但不能夠給它們提供土壤。確實(shí)如此，印度人認(rèn)為“空”是一種存在，甚至是絕對(duì)的存在，在佛學(xué)或禪宗中，我們可以找到許多關(guān)于這方面的論述。

但是，在數(shù)學(xué)里，“0”是實(shí)實(shí)在在的存在，在數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)中加上0，一個(gè)有效且簡(jiǎn)捷的十進(jìn)制數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)就建立起來(lái)了：十個(gè)符號(hào)加上位數(shù)準(zhǔn)則。

后來(lái)阿拉伯人把這個(gè)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)帶到了歐洲，于是這個(gè)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)在歐洲也流行起來(lái)，那已經(jīng)是公元10世紀(jì)以后的事情了，現(xiàn)在人們?nèi)匀环Q這個(gè)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)為阿拉伯?dāng)?shù)。意大利數(shù)學(xué)家斐波那契是第一個(gè)著書(shū)向歐洲人介紹印度的十進(jìn)制的，他的那本1202年出版的《算經(jīng)》開(kāi)始就說(shuō)：

“這是印度的九個(gè)數(shù)碼：9 8 7 6 5 4 3 2 1，還有一個(gè)阿拉伯人稱之為零的符號(hào)0，任何數(shù)都可以表示處理?！?/p>

馬克思終生喜愛(ài)研究數(shù)學(xué)，在《數(shù)學(xué)手稿》中他稱贊十進(jìn)制記數(shù)法是“最妙的發(fā)明之一”。關(guān)于十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)，法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯有一段非常精彩的闡述：

“用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙地方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看了如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了。”

可惜在那個(gè)年代，拉普拉斯對(duì)于中國(guó)還不十分了解，于是把這項(xiàng)發(fā)明完全歸功于印度。許多史料表明，更早使用了十進(jìn)制記數(shù)法的是中國(guó)，正如吳文俊所說(shuō)：

“位值制的數(shù)字表示方法及其簡(jiǎn)單，因而也掩蓋了它的偉大業(yè)績(jī)。它的重要作用與重要意義，非但為一般人們所不了解，甚至眾多數(shù)學(xué)專家對(duì)它的重要性也熟視無(wú)睹。而法國(guó)的數(shù)學(xué)家拉普拉斯則獨(dú)具慧眼，提出算術(shù)應(yīng)在一切有用的發(fā)明中列首位。中華民族是這一發(fā)明當(dāng)之無(wú)愧，獨(dú)一無(wú)二的發(fā)明者。這一發(fā)明對(duì)人類文化貢獻(xiàn)之巨，縱然不能與火的發(fā)明相比，至少是可與文化史上我國(guó)的四大發(fā)明相媲美的。中華民族應(yīng)以出現(xiàn)這一發(fā)明而引以自豪。”

人類從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念，并且用十個(gè)符號(hào)來(lái)表示，這不僅是對(duì)于數(shù)學(xué)，即便是對(duì)于人類文明的發(fā)展的貢獻(xiàn)都是巨大的。同時(shí)，這些符號(hào)的出現(xiàn)也是自然的，是合情合理的，于是，人們稱這個(gè)數(shù)字符號(hào)系統(tǒng)為自然數(shù)集，我們用N表示自然數(shù)集。

關(guān)于數(shù)，德國(guó)數(shù)學(xué)家克羅內(nèi)克有一句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的都是人的工作。”他一方面是在表述自然數(shù)的重要，一方面在表示對(duì)于其他“數(shù)”的理解的苦惱。后面我們將會(huì)看到苦惱之所在。