第二十九章體積、弧長和表面積

本章內容如下：

尋找磁盤方法和殼方法卷；

求更一般的立體體積。

求光滑曲線的弧長和參數的粒子速度。

找到整個旋轉的表面積。

所有29.1次卷(Volumes of Solids of Revolution)

要求出黎曼和下圖中半圓的面積，需要用小矩形條劃分，再加上這個矩形的面積，得到半圓的面積大致。

摘要該解決方案區(qū)域的模式：從X軸上的點X取寬度dx單位、高度Y單位的小條來計算面積，然后將積分號放在前面，得到所需的總面積。這種方法不僅可以用來求面積，還可以用來求體積。特別是，讓我們看一下兩種不同的方法3360磁盤方法和殼方法以及解釋旋轉是如何工作的。

29.1.1磁盤方法(The disc method)

現在，通過繞x軸旋轉上一部分的半圓來獲得球。

寬度dx單位，除以半徑y(tǒng)單位的薄磁盤。使用的磁盤越薄，近似值越好。極限時，磁盤的最大厚度為0，則幾乎完美的：整個磁盤的總體積將成為球的體積。這種方法稱為磁盤方法，也稱為切片。

29.1.2殼方法(The shell method)

現在，如果看到半圓形區(qū)域圍繞y軸旋轉，則可以得到與圓環(huán)頂部類似的旋轉體：

我們再用小桿逼近半圓，但這次要繞Y軸旋轉。例如，現在用兩根小桿旋轉，就可以得到柱殼。

可以用一系列的外殼近似這個甜甜圈的一半。每個外殼的最大厚度dx越小，近似越好。

每個單獨的外殼接近一個周長為2、高度為y的盒子。觀察下一個動畫擴展到長方體的過程：

現在要做的是

是從x=2 到 x=4 進行積分求這些長方體體積之和就可以求出旋轉體體積.

29.1.3 總結和變式

注意, 應用圓盤法時, 小條繞平行于它們短邊的軸旋轉; 而應用殼法時, 小條繞垂直于短邊的軸旋轉.

29.2 一般立體體積

其實大部分立體并不能通過繞旋轉軸形成, 但可以借鑒切片法的思想, 將所有小薄片的體積加起來, 并求薄邊的厚度趨于 0 的極限. 大致是這樣的思路:(1) 選定一個軸;(2) 求軸上點 x 處的切片橫截面面積, 稱該面積為 A(x) 平方單位;(3) 若 V 為立體的體積(立方單位), 在 x 的取值范圍 [a,b] 有

29.3 弧長

如何計算曲線的弧長呢? 用線段 AB 的長度來近似 AB 之間的曲線長度.

并且 AB 之間越接近, 近似程度就越好. AB 的長度是 √dx2+dy2dx2+dy2. 可以觀察下面動畫:

現在積分在 [a,b] 區(qū)間連加和求極限, 會得到:

參數形式

極坐標情形

29.4 旋轉體的表面積

現在看看如何求由曲線繞某軸旋轉所得表面的表面積.

割線長度為 √(dx)^2+(dy)^2 . 隨著對旋轉體的不斷切分, 圓臺可以近似視為圓柱體, 并且逼近旋轉體, 觀察下圖動畫:

所以 對于每一個薄片可以視為得到了一個半徑為 y 、寬度為的圓柱形環(huán), 則它有表面積 2πy√(dx)^2+(dy)^2 . 現在將這些圓柱形環(huán)的表面積相加起來, 并令環(huán)的寬度趨于 0 , 因此得到繞 x 軸旋轉的公式:

參數形式的求表面積公式. 若 x 和y 是參數t 的函數, 其中t 的取值范圍為 t0 到 t1, 則可推出下面的公式：

(完)

「予人玫瑰, 手留余香」

轉發(fā)既是支持和幫助, 感謝感謝!